高考数学函数奇偶性专项训练-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $f(t)=(t-2) \mathrm{e}^t$ ，若正数 $x, y$ 满足 $f(x) < f\left(\frac{1}{y}\right)$ ，则下列不等式可能成立的是

$ \text{A.}$ $x y < y < 1$ $ \text{B.}$ $1 < y < x y$ $ \text{C.}$ $y < x y < 1$ $ \text{D.}$ $x y < 1 < y$

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答案：

ABC

解析：

$\because f(t)=(t-2) \mathrm{e}^t, \therefore f^{\prime}(t)=(t-1) \mathrm{e}^t$,
$\therefore$ 当 $t \in(0,1)$ 时， $f^{\prime}(t) < 0$ ；当 $t \in(1,+\infty)$ 时， $f^{\prime}(t)>0$ ；
$\therefore f(t)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增；
对于A，若 $x y < y < 1$ ，由 $x>0 ， y>0$ 可得： $0 < x < 1 < \frac{1}{y}$ ，
若 $x=\frac{1}{2} ， y=\frac{1}{2}$ ，则 $f(x)=-\frac{3}{2} \mathrm{e} \frac{1}{2} < 0 ， f\left(\frac{1}{y}\right)=0 ， \therefore f(x) < f\left(\frac{1}{y}\right)$ ，即A可能成立，A正确；
对于 $\mathrm{B}$ ，若 $1 < y < x y$ ，由 $x>0 ， y>0$ 可得： $0 < \frac{1}{y} < 1 < x$ ，
若 $\frac{1}{y}=\frac{1}{3} ， x=\frac{4}{3}$ ，则 $f\left(\frac{1}{y}\right)=-\frac{5}{4} \mathrm{e} \frac{1}{3} < 0 ， f(x)=-\frac{2}{3} \mathrm{e}^{\frac{4}{3}} < 0$ ，
$\therefore \frac{f(x)}{f\left(\frac{1}{y}\right)}=\frac{8}{15} \mathrm{e}>1 ， \therefore f(x) < f\left(\frac{1}{y}\right)$ ，即 $\mathrm{B}$ 可能成立，B正确；
对于C，若 $y < x y < 1$ ，则 $1 < x < \frac{1}{y}$ ，又 $f(t)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，
$\therefore f(x) < f\left(\frac{1}{y}\right)$ ，即C可能成立，C正确；
对于D，若 $x y < 1 < y$ ，则 $0 < x < \frac{1}{y} < 1$, 又 $f(t)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，
$\therefore f(x)>f\left(\frac{1}{y}\right)$ ，即D不可能成立，D错误.
故选: ABC.

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