题号:6243    题型:单选题    来源:高考数学函数奇偶性专项训练
已知 $f(x)=x^2+\cos x$ ，若 $a=f\left(\mathrm{e}-\frac{3}{4}\right), b=f\left(\ln \frac{4}{5}\right), c=f\left(-\frac{1}{4}\right)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为
$ \text{A.}$ $b < c < a$ $ \text{B.}$ $c < a < b$ $ \text{C.}$ $c < b < a$ $ \text{D.}$ $a < c < b$
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答案：
答案：
A

解析：

因为 $f(x)=x^2+\cos x, x \in \mathrm{R}$ ，定义域关于原点对称，
$f(-x)=(-x)^2+\cos (-x)=x^2+\cos x=f(x)$ ，所以 $f(x)$ 为 $\mathrm{R}$ 上的偶函数，
当 $x \geq 0$ 时, $f^{\prime}(x)=2 x-\sin x$ ，设 $g(x)=2 x-\sin x$ ，
则 $g^{\prime}(x)=2-\cos x ， \because-1 \leq \cos x \leq 1 ， \therefore g^{\prime}(x)>0$ ，
所以 $g(x)$ 即 $f^{\prime}(x)$ 在 $\left.0,+\infty\right)$ 上单调递增，所以 $f^{\prime}(x) \geq f^{\prime}(0)=0$,
所以 $f(x)$ 在 $0,+\infty)$ 上单调递增，又因为 $f(x)$ 为偶函数,
所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0$ 上单调递减，
又因为 $\ln \frac{4}{5} < 0,-\frac{1}{4} < 0$, 所以 $b=f\left(\ln \frac{4}{5}\right)=f\left(-\ln \frac{4}{5}\right)=f\left(\ln \frac{5}{4}\right)$,
$c=f\left(-\frac{1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{4}\right)$
又因为 $\mathrm{e} \frac{3}{4}>\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}>\frac{1}{4}$,
因为 $\frac{1}{4}=\ln e \frac{1}{4},\left(\mathrm{e} \frac{1}{4}\right)^4=\mathrm{e},\left(\frac{5}{4}\right)^4 \approx 2.4 < \mathrm{e}$ ，所以 $\frac{1}{4}>\frac{5}{4}$,
所以 $\ln \frac{1}{4}>\ln \frac{5}{4}$ ，即 $\frac{1}{4}>\ln \frac{5}{4}$,
所以 $\frac{3}{4}>\frac{1}{4}>\ln \frac{5}{4}$,
所以 $f\left(\mathrm{e}^{-\frac{3}{4}}\right)>f\left(\frac{1}{4}\right)>f\left(\ln \frac{5}{4}\right)$,
即 $a>c>b$.
故选: A.
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