题号:6241    题型:多选题    来源:高考数学函数奇偶性专项训练
若 $a=\ln 1.1 , b=\frac{1}{11} , c=\sin 0.1 , d=\frac{21}{220}$ ,则
$ \text{A.}$ $a < b$ $ \text{B.}$ $b < c$ $ \text{C.}$ $a < d$ $ \text{D.}$ $c < d$
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答案:
答案:
BC

解析:

$b=\frac{1}{11}=1-\frac{1}{1.1}$ ,令 $f(x)=\ln x-1+\frac{1}{x} , x \in[1,1.1]$ ,
则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2} \geq 0$ ,
故 $f(x)=\ln x-1+\frac{1}{x}$ 在 $[1,1.1]$ 上单调递增,
则 $f(1.1)>f(1)=0$ ,
即 $\ln 1.1>\frac{1}{11}$ ,
故 $b < a$ ;
而 $d=\frac{21}{220}=\frac{1.1}{2}-\frac{1}{2 \times 1.1}$,
令 $g(x)=\ln x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2 x} , x \in[1,1.1]$ ,
则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2 x^2}=\frac{2 x-x^2-1}{2 x^2}=\frac{-(x-1)^2}{2 x^2} \leq 0$ ,
故 $g(x)=\ln x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2 x}$ 在 $[1,1.1]$ 上单调递减,故 $g(1.1) < g(1)=0$ ,
即 $\ln 1.1 < \frac{21}{220}$ ,
故 $a < d$ ;
令 $h(x)=\sin x-\frac{x+1}{2}+\frac{1}{2(x+1)} , x \in[0,0.1]$ , 则 $h^{\prime}(x)=\cos x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2(x+1)^2}$ ,
由函数 $y=\cos x-\frac{1}{2}$ 及 $v=\frac{1}{2(x+1)^2}$ 的图象特征,
再由 $h^{\prime}(0)=0 , h^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)>0$ ,可得 $h^{\prime}(x) \geq 0$ ,
故 $h(x)$ 在 $[0,0.1]$ 上单调递增,则 $h(0.1)>h(0)=0$ ,
即 $\sin 0.1>\frac{21}{220}$ ,
则 $d < c$ ,
则 $b < a < d < c$.
故选: BC.

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