高考数学函数奇偶性专项训练-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $\ln 2 \approx 0.69$ ，设 $a=\frac{27}{e^{\ln 8}}, b=\frac{3.5^3}{2^{3.5}}, c=\frac{36}{13}$ ，则

$ \text{A.}$ $a>c>b$ $ \text{B.}$ $b>c>a$ $ \text{C.}$ $a>b>c$ $ \text{D.}$ $b>a>c$

答案：

解析：

由于 $a=\frac{27}{e^{\ln 8}}=\frac{27}{8}=\frac{3^3}{2^3}, b=\frac{3.5^3}{2^{3.5}}$ ，
故设函数 $f(x)=\frac{x^3}{2^x}, \therefore f^{\prime}(x)=\frac{3 x^2 \cdot 2^x-x^3 \cdot 2^x \cdot \ln 2}{\left(2^x\right)^2}=\frac{x^2(3-x \cdot \ln 2)}{2^x}$ ，
当 $x < \frac{3}{\ln 2}$ 时， $f^{\prime}(x)>0$ ，即 $f(x)$ 在 $\left(-\infty, \frac{3}{\ln 2}\right)$ 上单调递增，
由于 $\frac{3}{\ln 2} \approx \frac{3}{0.69} \approx 4.35$ ，
故 $f(3) < f(3.5)$ ，即 $a=\frac{3^3}{2^3} < b=\frac{3.5^3}{2^{3.5}}$ ，
又 $a=\frac{27}{e^{\ln 8}}=\frac{27}{8}>3>c=\frac{36}{13}$ ，故 $b>a>c$ ，
故选: D

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