山东省2022年普通高中物理学业水平等级考试（高考物理）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

无人配送小车某次性能测试路径如图所示, 半径为 $3 \mathrm{~m}$ 的半圆弧 $B C$ 与长 $8 \mathrm{~m}$ 的直线路径 $A B$ 相切于 $B$ 点, 与半径为 $4 \mathrm{~m}$ 的半圆弧 $C D$ 相切于 $C$ 点。小车以最大速度从 $A$ 点驶入路径, 到适当位置调整速率运动到 $B$ 点, 然后保持速率不变依次经过 $B C$ 和 $C D$ 。为保证安全, 小车速率最大为 $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 。在 $A B C$ 段的加速度最大为 $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2, C D$ 段的加速度最大为 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。小车视为质点, 小车从 $A$ 到 $D$ 所需最短时间 $t$ 及在 $A B$ 段做匀速直线运动的最长距离 $l$ 为

$ \text{A.}$ $t=\left(2+\frac{7 \pi}{4}\right) \mathrm{s}, l=8 \mathrm{~m}$ $ \text{B.}$ $t=\left(\frac{9}{4}+\frac{7 \pi}{2}\right) \mathrm{s}, l=5 \mathrm{~m}$. $ \text{C.}$ $t=\left(2+\frac{5}{12} \sqrt{6}+\frac{7 \sqrt{6} \pi}{6}\right) \mathrm{s}, l=5.5 \mathrm{~m}$. $ \text{D.}$ $t=\left[2+\frac{5}{12} \sqrt{6}+\frac{(\sqrt{6}+4) \pi}{2}\right] \mathrm{s}, l=5.5 \mathrm{~m}$

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答案：

解析：

在 $B C$ 段的最大加速度为 $a_1=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$, 则根据 $a_1=\frac{v_1^2}{r_1}$ 可得在 $B C$ 段的最大速度为 $v_{1 \mathrm{~m}}=\sqrt{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.

在 $C D$ 段的最大加速度为 $a_2=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$, 则根据 $a_2=\frac{v_2^2}{r_2}$ 可得在 $B C$ 段的最大速度为
$$
v_{2 \mathrm{~m}}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} < v_{1 \mathrm{~m}}
$$
可知在 $B C D$ 段运动时的速度为 $v=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 在 $B C D$ 段运动的时间为 $t_3=\frac{\pi r_1+\pi r_2}{v}=\frac{7 \pi}{2} \mathrm{~S}$
$A B$ 段从最大速度 $1 \mathrm{~m}$ 减速到 $v$ 的时间 $t_1=\frac{v_{\mathrm{m}}-v}{a_1}=\frac{4-2}{2} \mathrm{~s}=1 \mathrm{~s}$ 位移 $x_2=\frac{v_m^2-v^2}{2 a_1}=3 \mathrm{~m}$
在 $A B$ 段匀速的最长距离为 $l=8 \mathrm{~m}-3 \mathrm{~m}=5 \mathrm{~m}$ 则匀速运动的时间 $t_2=\frac{l}{v_{\mathrm{m}}}=\frac{5}{4} \mathrm{~s}$ ～
则从 $A$ 到 $D$ 最短时间为 $t=t_1+t_2+t_3=\left(\frac{9}{4}+\frac{7 \pi}{2}\right) \mathrm{s}$ 故选 $\mathrm{B}$ 。

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