题号:607    题型:解答题    来源:2020年甘肃省白银市中考数学试卷
类型:中考真题
如图, 点 $M, N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C, C D$ 上, 且 $\angle M A N=45^{\circ}$. 把 $\triangle A D N$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle A B E$.
(1) 求证: $\triangle A E M \cong \triangle A N M$.
(2) 若 $B M=3, D N=2$, 求正方形 $A B C D$ 的边长.


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答案:
(1) 证明: $\because \triangle A D N \cong \triangle A B E$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle D A N=\angle B A E, D N=B E, \\
&\because \angle D A B=90^{\circ}, \angle M A N=45^{\circ}, \\
&\therefore \angle M A E=\angle B A E+\angle B A M=\angle D A N+\angle B A M=45^{\circ}, \\
&\therefore \angle M A E=\angle M A N, \\
&\because M A=M A, \\
&\therefore \triangle A E M \cong \triangle A N M(S A S) .
\end{aligned}
$$

(2)解: 设 $C D=B C=x$, 则 $C M=x-3, C N=x-2$,
$\because \triangle A E M \cong \triangle A N M$,
$\therefore E M=M N$,
$\because B E=D N$,
$\therefore M N=B M+D N=5$,
$\because \angle C=90^{\circ}$,
$\therefore M N^{2}=C M^{2}+C N^{2}$,
$\therefore 25=(x-2)^{2}+(x-3)^{2}$,
解得, $x=6$ 或 $-1$ (舍弃),
$\therefore$ 正方形 $A B C D$ 的边长为 6 .

解析:

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