题号:5990    题型:解答题    来源:2023年山西省高考考前适应性测试物理试卷与答案
现代科技中常用电磁场分离和控制带电粒子的运动。如图所示, 在 $x O y$ 平面内,第一 象限内存在着沿 $y$ 轴负方向的匀强电场; 第二象限内, 在 $P O Q$ 三角形区域之外存在垂直于 纸面向外的匀强磁场。位于 $P(-\sqrt{3} L, 0)$ 点的粒子源, 能以不同速率、沿与 $x$ 轴夹角 $\theta=60^{\circ}$ 的同一方向发射质量均为 $m$ 、电荷量均为 $+q(q>0)$ 的 粒子, 其中速率为 $v_0$ 的粒子恰好从 $y$ 轴上的 $Q(0, L)$ 点 离开磁场, 且通过电场后到达 $x$ 轴上的 $N(L, 0)$ 点。不 考虑粒子的重力和粒子间的相互作用,求:
（1）磁感应强度的大小和电场强度的大小;
（2)速率为 $\frac{1}{2} v_0$ 的粒子到达 $x$ 轴上时的位置。
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答案：
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(1) 设磁感应强度的大小为 $B$, 速率为 $v_0$ 的粒子在磁场中做匀速圆周运动, 设半径为 $r$, 轨迹圆心 $O_1$, 如图所示。 由几何关系可知 $P Q O_1$ 为等边三角形, $O_1$ 点的坐标为 $(0,-L)$ 。由几何关系和牛顿运动定律有
$$
r^2=L^2+(\sqrt{3} L)^2
$$
由 $q v_0 B=m \frac{v_0^2}{r}$
解得: $B=\frac{m v_0}{2 q L}$

速率为 $v_0$ 的粒子在 $Q$ 点速度的方向沿 $x$ 轴正方向, 设粒子在电场中加速度 的大小为 $a$, 运动时间为 $t$, 电场强度的大小为 $E$
$$
\begin{aligned}
& q E=m a \\
& L=v_0 t \\
& L=\frac{1}{2} a t^2 \\
&
\end{aligned}
$$
解得: $E=\frac{2 m v_0{ }^2}{q L} $




(2) 设速率为 $\frac{1}{2} v_0$ 的粒子在磁场中运动的半径为 $r_1$, 由牛顿运动定律有
$q \frac{v_0}{2} B=m \frac{\left(\frac{v_0}{2}\right)^2}{r_1}$
解得: $r_1=L$, 由几何关系可知粒子到达 $y$ 轴时的点位于 $O Q$ 的中点且速度方向沿 $x$ 轴正方向。设其在电场中运动 时间为 $t_1$, 到达 $x$ 轴时位置坐标为 $(x, 0)$
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} L=\frac{1}{2} a t_1{ }^2 \\
& x=\frac{1}{2} v_0 t_1 .
\end{aligned}
$$
解得: $x=\frac{\sqrt{2}}{4} L$
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