题号:5989    题型:解答题    来源:2023年山西省高考考前适应性测试物理试卷与答案
梦天实验舱成功发射后运行在距地球表面高度为 $h$ 的圆轨道上,实验舱拥有一项特别 “炫酷” 的功能一一在轨释放微小卫星。航天员把微小卫星装人释放机构, 释放机构再像 弹弓一样, 在很短的时间内把微小卫星沿空间站前行方向弹射出去。若某个质量为 $m$ 的 微小卫星被弹射后恰能脱离地球的引力范围, 即到达距地球无限远时的速度恰好为零。 已知质量分别为 $m_1 、 m_2$ 的两个质点相距为 $r$ 时, 它们间的引力势能为 $E_{\mathrm{p}}=-\frac{G m_1 m_2}{r}(r \rightarrow \infty$, 引力势能为 0 )。地球半径为 $R$, 地球表面的重力加速度为 $g$, 引力常量为 $G$ 。求:
(1)微小卫星与实验舱在轨运行时的速度;
(2)释放机构弹射微小卫星过程中做的功。
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答案:
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(1) 设地球的质量为 $M$, 空间站与微小卫星的速度大小为 $v_0$
$$
\begin{aligned}
& \frac{G M m}{(R+h)^2}=m \frac{v_0^2}{R+h} \\
& \frac{G M m}{R^2}=m g .
\end{aligned}
$$
解得: $v_0=\sqrt{\frac{g R^2}{R+h}}$
(2)微小卫星刚弹射出去时速度的大小为 $v$
$$
-\frac{G M m}{(R+h)}+\frac{1}{2} m v^2=0
$$
释放机构将微小卫星弹射出去的过程中做的功
$$
W=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m v_0^2 \text {. }
$$
解得: $W=\frac{m g R^2}{2(R+h)}$

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