题号:5975    题型:解答题    来源:武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷及参考答案
如图, 在边长为 4 的正三角形 $A B C$ 中, $E, F$ 分别为边 $A B, A C$ 的中点. 将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 翻 折至 $\triangle A_1 E F$, 得到四棱锥 $A_1-E F C B, P$ 为 $A_1 C$ 的中点.
(1) 证明: $F P / /$ 平面 $A_1 B E$;
(2) 若平面 $A_1 E F \perp$ 平面 $E F C B$, 求直线 $A_1 F$ 与平面 $B F P$ 所成的角的正弦值.
​ 0 人点赞 纠错 ​ ​ 15 次查看 ​ 我来讲解
答案：
答案：
(1) 连接 $A_1 B$ 的中点 $Q$ ，则有 $P Q / / B C$ ，且 $P Q=\frac{1}{2} B C$ ，同理 $E F / / B C$ ， 且 $E F=\frac{1}{2} B C$ ，故 $P Q / / E F$ ，且 $P Q=E F$ ，
则四边形 $P Q E F$ 为平行四边形，则 $F P / / E Q$ ，又 $E Q \subset$ 平面 $A_1 B E$ ，故 $F P / /$ 平面 $A_1 B E$.
(2) 以 $E F$ 中点 $O$ 为原点， $E F$ 为 $y$ 轴， $E F$ 和 $B C$ 的垂直平分线为 $x$ 轴， $A O$ 为 $z$ 轴，建立 空间直角坐标系，则可得 $A_1(0,0, \sqrt{3}), F(0,1,0), B(\sqrt{3},-2,0), C(\sqrt{3}, 2,0), F(0,1,0)$ ， 则由 $P$ 为 $A_1 C$ 中点，故 $P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
则 $\overrightarrow{A_1 F}=(0,1,-\sqrt{3}), \overrightarrow{B F}=(-\sqrt{3}, 3,0), \overrightarrow{P F}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
设平面 $B F P$ 的法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B F}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P F}=0\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3} x+3 y=0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} z=0\end{array}\right.$
，则 $x: y: z=\sqrt{3}: 1: \sqrt{3}$ ，故取 $\vec{n}=(\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$ ，
则 $\cos \left\langle\overrightarrow{A_1 F}, \vec{n}\right\rangle=\frac{0+1-3}{\sqrt{1+3} \cdot \sqrt{3+1+3}}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，
故直线 $A_1 F$ 与平面 $B F P$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$.
关闭页面 下载Word格式