答案：
(I) 证明: 由题设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关, 可推得 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n$ 线性相关, 又据题设 $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n$ 的一个极大线性无关组, 故 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}$ 的秩为 n-1, 所以 r(A)=n-1 又由 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$ 知 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性表示
故 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n, \beta$ 与 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n$ 等价从而秩相同。
据此增广矩阵 $\bar{A}=(A \beta)$ 的秩 $=r(A)=n-1 < n \quad$ 因此方程组 $A x=\beta$ 必有无穷多解。
(II) $\because \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关, 故存在不全为 0 , 数 $l_1, l_2, \cdots, l_{n-1}$ 使 $l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2+\cdots+l_{n-1} \alpha_{n-1}=0$
故 $A\left(\begin{array}{c}l_1 \\ \vdots \\ l_{n-1} \\ 0\end{array}\right)=\left(\alpha_1 \cdots \alpha_{n-1} \alpha_n\right)\left(\begin{array}{c}l_1 \\ \vdots \\ l_{n-1} \\ 0\end{array}\right)=0$
又 $\because r(A)=n-1 \quad \therefore\left(l_1, \cdots, l_{n-1}, 0\right)^T$ 是 $A x=0$ 一个基础解系, 由 $A\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right) x=\alpha_1+\cdots \alpha_n=\beta$ 知 $(1,1, \cdots, 1)^T$ 是 $A x=\beta$ 特解。于是 $A x=\beta$ 通解是 $(1,1, \cdots, 1)^T+k\left(l_1, \cdots, l_{n-1}, 0\right)^T=\left(1+k l_1, \cdots 1+k l^{n-1}, 1\right)^T$ 因此若 $\left(k_1, \cdots, k_n\right)^T$ 是 $A x=\beta$ 解时, 必有 $k_n=1$.