共创考研辅导中心全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷 -Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $f(x)=x^2 \ln \left(1-x^2\right)$, 当 $n$ 为大于 2 的正整数时, 则 $f^{(n)}(0)=$

答案：

$f^{(n)}(0)=-\frac{2}{n-2} n !$.

解析：

$f(x)=x^2 \ln \left(1-x^2\right)=-x^2\left[x^2+\frac{x^4}{2}+\cdots+\frac{x^{2 m}}{m}+\cdots\right], n=2(m+1), m=\frac{n}{2}-1$, 所以 $x^n$ 对应系数 $-\frac{1}{\frac{n}{2}-1}=-\frac{2}{n-2}$, 则 $f^{(n)}(0)=-\frac{2}{n-2} n !$.

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