2022年孝感市中考数学试题与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

锐角 $\triangle A B C$ 中, $\mathrm{BC}=6, S_{\triangle A B C}=12$, 两动点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别在边 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{AC}$ 上滑动, 且
$M N // B C$, 以 $\mathrm{MN}$ 为边向下作正方形 $M P Q N$, 设其边长为 $\mathrm{x}$, 正方形 $M P Q N$ 与 $\triangle A B C$ 公共部分的
面积为 $\mathrm{y}(y \succ 0)$

(1) $\triangle A B C$ 中边 $\mathrm{BC}$ 上高 $\mathrm{AD}=$
(2) 当 $x=$ 时,PQ 恰好落在边 $\mathrm{BC}$ 上（如图 1)。
(3) 当 $\mathrm{PQ}$ 在 $\triangle A B C$ 外部时 (如图 2), 求 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的函数关系式 (注名 $\mathrm{x}$ 的取值范围), 并求出 $\mathrm{x}$ 为何值时 $\mathrm{y}$ 最大, 最大值是多少?

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答案：

(1) $A D=4$;
(2) $x=2.4$;

(3) 设 $B C$ 分别交 MP、NQ于 $E 、 F$, 则四边形 MEFN 为矩形。
设 $M E=F N=h, A D$ 交 MN 于 $G$ (如图 2), $G D=N F=h, A G=4-h$
$$
\begin{aligned}
& \because M N // B C, \\
& \therefore \triangle A M N \sim \triangle A B C \\
& \therefore \frac{M N}{B C}=\frac{A G}{A D}, \text { 即 } \frac{x}{6}=\frac{4-h}{4} \\
& \therefore h=-\frac{2}{3} x+4 . \\
& \therefore y=M N \cdot N F=x\left(-\frac{2}{3} x+4\right) \\
& =-\frac{2}{3} x^2+4 x(2.4 < x < 6)
\end{aligned}
$$
配方得: $y=-\frac{2}{3}(x-3)^2+6$, 所以当 $\mathrm{x}=3$ 时, $\mathrm{y}$ 有最大值,最大值是 6 。

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