2022年孝感市中考数学试题与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, $\mathrm{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径, $\mathrm{PQ}$ 切 $\odot O$ 于 $\mathrm{T}, A C \perp P Q$ 于 $\mathrm{C}$, 交 $\odot O$ 于 $\mathrm{D}$ 。
（1）求证: $\mathrm{AT}$ 平分 $\angle B A C$ 。
(2) 若 $\mathrm{AD}=2, T C=\sqrt{3}$, 求 $\odot O$ 的半径。

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答案：

(1) 证明：连接 OT,
$\because \mathrm{PQ}$ 切 $\odot O$ 于 $\mathrm{T}$,
$$
\therefore O T \perp P Q
$$
$$
\text { 又 } \because A C \perp P Q, \therefore O T \| A C
$$
$$
\therefore \angle T A C=\angle A T O
$$
$$
\text { 又 } \because 0 \mathrm{~T}=0 \mathrm{~A}
$$
$$
\therefore \angle A T O=\angle O A T \text {, }
$$
$\therefore \angle O A T=\angle T A C$, 即 AT 平分 $\angle B A C$ 。

(2) 过点 $\mathrm{O}$ 作 $O M \perp A C$ 于 $\mathrm{M}$,
$$
\therefore A M=M D=\frac{A D}{2}=1 \text {, }
$$
$$
\text { 又 } \angle O T C=\angle A C T=\angle O M C=90^{\circ}
$$
$\therefore$ 四边形 $0 T C M$ 为矩形
$$
\therefore O M=T C=\sqrt{3}
$$
$\therefore$ 在 $R t_{\triangle} A O M$ 中, $A O=\sqrt{O M^2+A M^2}=\sqrt{3+1}=2$, 即 $\odot O$ 的半径为 2 。

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