题号:
5842
题型:
解答题
来源:
2023河北省各地名校一模含部分试题答案精选
如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $A B=4, \angle B A D=60^{\circ}$, 点 $P$ 从点 $A$ 出发, 沿线段 $A D$ 以每 秒 1 个单位长度的速度向终点 $D$ 运动, 过点 $P$ 作 $P Q \perp A B$ 于点 $Q$, 作 $P M \perp A D$ 交直线 $A B$ 于点 $M$, 交直线 $B C$ 于点 $F$, 设 $\triangle P Q M$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分图形的面积为 $S$ (平方单位), 点 $P$ 运动时间为 $t$ (秒) .
(1) 当点 $M$ 与点 $B$ 重合时, 求 $t$ 的值;
(2) 当 $t$ 为何值时, $\triangle A P Q$ 与 $\triangle B M F$ 全等;
(3) 求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式;
(4) 以线段 $P Q$ 为边, 在 $P Q$ 右侧作等边三角形 $P Q E$, 当 $2 \leqslant t \leqslant 4$ 时, 请直接写出点 $E$ 运动路径的长.
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答案：
答案：
解: (1) $M$ 与 $B$ 重合时, 如图
$$
\begin{aligned}
& \because \angle A=60^{\circ}, \\
& \therefore P A=\frac{1}{2} A B=2, \\
& \therefore t=2 \\
\end{aligned}
$$
(2)① 当 $0 \leqslant 1 \leqslant 2$ II的,
$$
\begin{aligned}
& \because A M=2 t, \quad \therefore B M=4-2 t, \\
& \because \triangle A P Q \cong \triangle B M F, \therefore A P=B M, \\
& \therefore t=4-2 t, \\
& \therefore t=\frac{4}{3}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \cdots
\end{aligned}
$$
②当 $2 < 1 \leqslant 4$ 时,
$$
\begin{aligned}
& \because A M=2 t, \\
& \therefore B M=2 t-4, \\
& \because \triangle A P Q \cong \triangle B M F, \therefore A P=B M, \\
& \therefore t=2 t-4,
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \therefore t=4 . \\
& \therefore t=4 \text { 或 } t=\frac{4}{3} .
\end{aligned}
$$
(3) ① 当 $0 \leqslant t \leqslant 2$ 时, 如图 ,
$$
\begin{aligned}
& P Q=\frac{\sqrt{3}}{2} t, \\
& \therefore M Q=\frac{3}{2} t, \\
& \therefore S=S_{\triangle P Q M}=\frac{3 \sqrt{3}}{8} t^2 .
\end{aligned}
$$
②当 $2 < 1 \leqslant 4$ 时, 如图 ,
$$
\begin{aligned}
& \because B F=t-2, \quad M F=\sqrt{3}(t-2), \\
& \therefore S_{\triangle B F M}=\frac{\sqrt{3}}{2}(t-2)^2, \\
& \therefore S=S_{\triangle P Q M}-S_{\triangle B F M}=-\frac{\sqrt{3}}{8} t^2+2 \sqrt{3} t-2 \sqrt{3}, \\
& \therefore S=\left\{\begin{array}{l}
\frac{3 \sqrt{3}}{8} t^2(0 \leq t \leq 2), \\
-\frac{\sqrt{3}}{8} t^2+2 \sqrt{3} t-2 \sqrt{3}(2 < t \leq 4) .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
(4) $E$ 的运动路径长为 $2 \sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$.
提示：连接 $A E$. 如图
$\because \triangle P Q E$ 为正三角形,
$$
\therefore P E=\frac{\sqrt{3}}{2} t \text {, }
$$
在 $R i \triangle A P E$ 中, $\tan \angle P A E=\frac{P E}{P A}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} t}{t}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore \angle P A E$ 为定值.
$\therefore E$ 的运动轨迋为直线,
$$
\begin{aligned}
& A E=\sqrt{A P^2+P E^2}=\frac{\sqrt{7}}{2} t, \\
& \text { 当 } t=2 \text { 时, } A E=\sqrt{7}, \\
& \text { 当 } t=4 \text { 时, } A E=2 \sqrt{7},
\end{aligned}
$$
$\therefore E$ 的运动路径长为 $2 \sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$.
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