2023届辽宁省鞍山市普通高中高三第二次质量监测数学试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

数列 $\left\{a_n\right\}$ 是正项等比数列, 已知 $a_1=2$ 且 $a_3, 3 a_2, a_4$ 成等差数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\log _2 a_n, c_n=\frac{b_{n+1}^2-b_n}{b_n^2+b_n}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

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答案：

解: (1) 由题设 $6 a_2=a_3+a_4$, 令 $\left\{a_n\right\}$ 公比为 $q>0$, 则 $a_n=2 q^{n-1}$, 所以 $12 q=2 q^2+2 q^3, $ 即 $q^2+q-6=(q+3)(q-2)=0$, 则 $q=2$, 故 $a_n=2^n$

(2) 由 (1) 知: $b_n=\log _2 a_n=n$, 则 $c_n=\frac{(n+1)^2-n}{n^2+n}=\frac{n^2+n+1}{n^2+n}$,
$$
c_n=1+\frac{1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
$$
所以 $S_n=c_1+\ldots+c_n=n+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=n+1-\frac{1}{n+1}=\frac{n(n+2)}{n+1}$.

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