2023届辽宁省鞍山市普通高中高三第二次质量监测数学试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $P$ 在双曲线 $C: x^2-y^2=\lambda(\lambda>0)$ 的右支上运动, 平行四边形 $O A P B$ 的顶点 $A, B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，则下列结论正确的为

$ \text{A.}$ 直线 $A O, A P$ 的斜率之积为 -1 $ \text{B.}$ 双曲线 $C$ 的离心率为 2 $ \text{C.}$ $|P A|+|P B|$ 的最小值为 $\sqrt{2 \lambda}$ $ \text{D.}$ 四边形 $O A P B$ 的面积可能为 $\frac{2 \lambda}{3}$

0 人点赞纠错

12 次查看我来讲解

答案：

解析：

解: 由题意可知: 双曲线 $C: x^2-y^2=\lambda(\lambda>0)$ 为等轴双曲线, 则离心率为 $\sqrt{2}$, 故选项 $\mathrm{B}$ 错误;
由方程可知: 双曲线 $C: x^2-y^2=\lambda(\lambda>0)$ 的渐近线方程为 $x \pm y=0$, 不妨设点 $\mathrm{A}$ 在渐近线 $x+y=0$ 上, 点 $B$ 在渐近线 $x-y=0$ 上. 因为渐近线互相垂直, 由题意可知: 平行四边形 $O A P B$ 为矩形, 则 $k_{A P}=k_{O B}=1, k_{O A}=-1$, 所以直线 $A O, A P$ 的斜率之积为 -1 , 故选项 $\mathrm{A}$ 正确;
设点 $P\left(x_0, y_0\right)$, 由题意知: $O A P B$ 为矩形, 则 $P B \perp O B, P A \perp O A$, 由点到直线的距离公式可得:
$$
|P A|=\frac{\left|x_0+y_0\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|x_0+y_0\right|}{\sqrt{2}},|P B|=\frac{\left|x_0-y_0\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|x_0-y_0\right|}{\sqrt{2}} \text {, 则 }|P A|+|P B| \geq 2 \sqrt{|P A| \cdot|P B|}=2 \sqrt{\frac{\left|x_0+y_0\right|}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\left|x_0-y_0\right|}{\sqrt{2}}}=2 \sqrt{\frac{\lambda}{2}}=\sqrt{2 \lambda}
$$
当且仅当 $|P A|=|P B|$, 也即 $P$ 为双曲线右顶点时取等, 所以 $|P A|+|P B|$ 的最小值为 $\sqrt{2 \lambda}$, 故选项 $\mathrm{C}$ 正确;
由选项 $\mathrm{C}$ 的分析可知: $|P A| \cdot|P B|=\frac{\left|x_0+y_0\right|}{\sqrt{2}} \times \frac{\left|x_0-y_0\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\lambda}{2}$, 因为四边形 $O A P B$ 为矩形, 所以 $S_{O A P B}=|P A| \cdot|P B|=\frac{\lambda}{2}$, 故选项 D 错误, 故选: AC.

①点击收藏此题，扫码注册关注公众号接收信息推送（一月四份试卷,中1+高2+研1）
② 程序开发、服务器资源都需要大量的钱，如果你感觉本站好或者受到到帮助，欢迎赞助本站,赞助方式：微信/支付宝转账到 18155261033

关闭

试题打分

①此题难易度如何

②此题推荐度如何

确定