2023届辽宁省鞍山市普通高中高三第二次质量监测数学试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $1, P$ 是线段 $B C_1$ 上的动点, 则下列结论正确的是

$ \text{A.}$ 四面体 $A_1 D_1 A P$ 的体积为定值 $ \text{B.}$ $A P+P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ $ \text{C.}$ $A_1 P / /$ 平面 $A C D_1$ $ \text{D.}$ 当直线 $A_1 P$ 与 $A C$ 所成的角最大时, 四面体 $A_1 P C A$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \pi$

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答案：

ACD

解析：

解：对于 $\mathrm{A}$, 由正方体可得平面 $D A A_1 D_1 / /$ 平面 $B C C_1 B_1$, 且 $B, P \in$ 平面 $B C C_1 B_1$, 所以 $B$ 到平面 $D A A_1 D_1$ 的距离等于 $P$ 到平面 $D A A_1 D_1$ 的距离,
所以四面体 $A_1 D_1 A P$ 的体积为 $V_{P-A_1 D_1 A}=V_{B-A_1 D_1 A}=\frac{1}{3} S_{\triangle A_1 D_1 A} \times 1=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 1=\frac{1}{6}$, 所以四面体 $A_1 D_1 A P$ 的体积为定值, 故 $\mathrm{A}$ 正确;
对于 $\mathrm{B}$, 当 $P$ 与 $B$ 重合时, $A P+P C=A B+B C=2 < 2 \sqrt{2}$,

所以 $A P+P C$ 的最小值不为 $2 \sqrt{2}$, 故 B 错误;
对于 $\mathrm{C}$, 连接 $A_1 C_1, A_1 B$
由正方体可得 $A A_1=C C_1, A A_1 / / C C_1$, 所以四边形 $A A_1 C_1 C$ 是平行四边形, 所以 $A C / / A_1 C_1$,
因为 $A C \subset$ 平面 $A C D_1, A_1 C_1 \not \subset$ 平面 $A C D_1$, 所以 $A_1 C_1 / /$ 平面 $A C D_1$, 同理可得 $B C_1 / /$ 平面
$A C D_1$
因为 $A_1 C_1 \cap B C_1=C_1, A_1 C_1, B C_1 \subset$ 平面 $A_1 C_1 B$, 所以平面 $A_1 C_1 B / /$ 平面 $A C D_1$,
因为 $A_1 P \subset$ 平面 $A_1 C_1 B$, 所以 $A_1 P / /$ 平面 $A C D_1$, 故 C 正确;
对于 D, 因为 $A C / / A_1 C_1$, 所以 $\angle P A_1 C_1$ (或其补角) 为直线 $A_1 P$ 与 $A C$ 所成的角,
由图可得当 $P$ 与 $B$ 重合时, 此时 $\angle P A_1 C_1$ 最大, 故此时直线 $A_1 P$ 与 $A C$ 所成的角最大,
所以四面体 $A_1 P C A$ 即四面体 $A_1 B C A$ 的外接球即为正方体的外接球,
所以外接球的直径为 $2 R=\sqrt{3}$, 即 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 所以四面体 $A_1 P C A$ 的外接球的体积为 $\frac{4}{3} \pi R^3=\frac{\sqrt{3}}{2} \pi$, 故 D 正确;

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