如图, 正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $1, P$ 是线段 $B C_1$ 上的动点, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 四面体 $A_1 D_1 A P$ 的体积为定值
$\text{B.}$ $A P+P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $A_1 P / /$ 平面 $A C D_1$
$\text{D.}$ 当直线 $A_1 P$ 与 $A C$ 所成的角最大时, 四面体 $A_1 P C A$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \pi$