2023 年浙江省十校联盟高考数学第三次联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在三棱雉 $A B C D$ 中, 对棱 $A B=C D=2 \sqrt{2}, A D=B C=\sqrt{5}, A C=B D=\sqrt{5}$, 则该三棱锥的外接球体积为 $-\frac{9}{2} \pi$, 内切球表面积为

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答案：

$\frac{9}{2} \pi ; \frac{2}{3} \pi$.

解析：

解：因为三棱㹊 $A-B C D$ 每组对棱棱长相等, 所以可以把三棱雉 $A-B C D$ 放入长方体中,
设长方体的长、宽、高分别为 $x 、 y 、 z$, 如下图所示:

则 $\sqrt{x^2+y^2}=2 \sqrt{2}, \sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{5}, \sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{5}$, 解得 $x=y=2, z=1$,
外接球直径 $2 R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=3$, 其半径为 $R=\frac{3}{2}$,
三棱雉 $A-B C D$ 的体积 $V=x y z-\frac{1}{6} x y z \times 4=\frac{1}{3} x y z=\frac{4}{3}$,
在 $\triangle A B C$ 中, $A C=B C=\sqrt{5}, A B=2 \sqrt{2}$, 取 $A B$ 的中点 $E$, 连接 $C E$, 如下图所示:

则 $C E \perp A B$, 且 $C E=\sqrt{A C^2-A E^2}=\sqrt{3}$, 所以 $S_{M B C}=\frac{1}{2} A B \cdot C E=\sqrt{6}$,
因为三棱锥 $A-B C D$ 的每个面的三边分别为 $\sqrt{5} 、 \sqrt{5} 、 2 \sqrt{2}$,
所以三棱雉 $A-B C D$ 的表面积为 $S=4 S_{\triangle A B C}=4 \sqrt{6}$,
设三棱锥 $A-B C D$ 的内切球半径为 $r$, 则 $V=\frac{1}{3} S r$, 可得 $r=\frac{3 V}{S}=\frac{4}{4 \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$,
所以该三棱锥的外接球体积为 $\frac{4}{3} \pi R^3=\frac{9}{2} \pi$, 内切球表面积为 $4 \pi r^2=\frac{2}{3} \pi$.
故答案为: $\frac{9}{2} \pi ; \frac{2}{3} \pi$.

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