题号:5717    题型:多选题    来源:2023 年浙江省十校联盟高考数学第三次联考试卷
数列 $\left\{x_n\right\}$ 定义如下: $x_1=1, x_2=2$, 若对于任意 $n \geqslant 1$, 数列的前 $2^n$ 项已定义, 则对于 $2^n+1 \leqslant k \leqslant 2^{n+1}$, 定义 $x_k=2 x_{k-2^*}, S_n$ 为其前 $n$ 项和, 则下列结论正确的是
$ \text{A.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的第 $2^n$ 项为 $x_{r^n}=2^n$ $ \text{B.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的第 2023 项为 $x_{2023}=128$ $ \text{C.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的前 $2^n$ 项和为 $S_{2^n}=3^n$ $ \text{D.}$ $S_{2^{10}+2^2+2^2}=S_{2^{10}}+2 S_{2^5}+2^2 S_{2^2}$
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答案:
答案:
ACD

解析:

解 : $x_1=1, x_2=2, x_3=2 x_{3-2^1}=2, x_4=2 x_{4-2^1}=2 x_2=4, x_5=2 x_{5-2^2}=2 x_1=2$, $x_6=2 x_{6-2^2}=2 x_2=4, x_7=2 x_{7-2^2}=2 x_3=4, x_8=2 x_{8-2^2}=2 x_4=8 \ldots$
$a_{2^n}=2 a_{2^{n-1}}=\cdots=2^{n-1} a_{2^{\prime}}=2^{n-1} \times 2=2^n$, 故 $A$ 正确;
$$
\begin{aligned}
& 2023=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^2+2^1+2^0 \\
& x_{2023}=2 x_{2023-2^{10}}=2 x_{999}=4 x_{999-2^9}=4 x_{487}=8 x_{487-2^8}=8 x_{231}=16 x_{103}=32 x_{39}=64 x_7=128 x_3=256,
\end{aligned}
$$
故 $B$ 错误;
$S_{2^{\prime}}=3, S_{2^2}=3 S_{2^{\prime}}=9, \ldots$, 当 $1 \leqslant k \leqslant 2^n$ 时, $S_{2^{n+1}}=S_{2^n+2^n}=S_{2^n}+2 S_{2^n}=3 S_{2^n}$,
所以 $S_{2^n}=S_{2^1} \cdot 3^{n-1}=3^n$, 故 $C$ 正确;
当 $1 \leqslant k \leqslant 2^n \quad$ 时 , $\quad S_{2^n+k}=S_{2^n}+2 S_k$
$S_{2^{10}+2^5+2^2}=S_{2^{10}}+2 S_{2^5+2^2}=S_{2^{10}}+2\left(S_{2^5}+2 S_{2^2}\right)=S_{2^{10}}+2 S_{2^5}+2^2 S_{2^2}$, 故 $D$ 正确;
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