(1)当 $t$ 为何值时, $P Q / / A B$ ?
(2) 连接 $E Q$, 设四边形 $A P Q E$ 的面积为 $y\left(\mathrm{~cm}^2\right)$, 求 $y$ 与 $t$ 的函数关系式.
(3)若点 $F$ 关于 $A B$ 的对称点为 $F^{\prime}$, 是否存在某一时刻 $t$, 使得点 $P, E, F$ 三点共线? 若 存在, 求出 $t$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

(1) 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,
$\therefore A D \| C D$,

$\therefore$ 四边形 $P A B Q$ 是平行四边形,
\begin{aligned} & \therefore A P=B Q, \\ & \therefore 8-2 t=t, \\ & \therefore t=\frac{8}{3}, \end{aligned}
$\therefore$ 当 $t=\frac{8}{3}$ 时, $P Q / / A B$;
$\therefore$ 四边形 $P A B Q$ 是平行四边形.
\begin{aligned} & \therefore A P=B Q, \\ & \therefore 8-2 t=t, \\ & \therefore t=\frac{8}{3}, \end{aligned}
$\therefore$ 当 $t=\frac{8}{3}$ 时, $P Q \| / A B$;
(2) 如图, 过点 $Q$ 作 $Q H \perp A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $H$.

$\angle A D B=90^{\circ}$,
$\therefore B D^2-A B^2-A D^2-100-64-36$, 即 $B D=6$ (负值舍去),

\begin{aligned} & \therefore A D \| B C, \\ & \therefore \angle A=\angle Q B H, \\ & \text { 又 } \angle A D B=\angle B H Q=90^{\circ} \text {, } \\ & \therefore \triangle A D B \sim \triangle B H Q . \end{aligned}
\begin{aligned} & \therefore \frac{B D}{Q H}=\frac{A B}{B Q} \text {, 即 } \frac{6}{Q H}=\frac{10}{t}, \\ & \therefore Q H=\frac{3}{5} t, \\ & P E \| B D, \\ & \therefore \frac{D P}{A D}=\frac{B E}{A B} \text {, 即 } \frac{2 t}{8}=\frac{B E}{10}, \\ & \therefore B E=\frac{5}{2} t, \end{aligned}

(3)连接FF' 交AB对称点为F'

$\therefore \angle F E B-\angle F^{\prime} E B, F N \perp E B$,
$\therefore \angle F^{\prime} E B=\angle A B D$,
$\therefore \angle F E B-\angle A B D$,
$\therefore E F=F B$,
$\therefore B N=E N=\frac{1}{2} B E=\frac{5}{4} t$,

\begin{aligned} & \therefore A D \| B C \text {. } \\ & \therefore \angle D P F=\angle F Q B \text {, } \\ & Q D F P-\angle B F Q \text {, } \\ & \therefore \mathrm{VDPF} \sim \mathrm{VBQF} \text {, } \\ & \therefore \frac{D F}{B F}=\frac{D P}{B Q}=2 \text {, } \\ & \therefore D F=2 B F \text {, } \\ & \therefore 2 B F+B F=6 \text {. } \\ & \therefore B F=2 \text {, } \\ & \end{aligned}
$\angle F B N=\angle A B D, \angle F N B=\angle A D B$,
$\therefore \mathrm{VBNF} \sim \mathrm{VBDA}$,
$\therefore \frac{B N}{B F}=\frac{B D}{A B}$,
$\therefore \frac{\frac{5}{4} t}{2}=\frac{6}{10}$, 解得: $t=\frac{24}{25}$,
$\therefore$ 存在某一时刻 $t$, 使得点 $P, E, F^{\prime}$ 三点共线, $t$ 的值为 $\frac{24}{25}$.