题号:5705    题型:解答题    来源:2023年浙江省绍兴市中考模拟数学试卷（含答案）
如图, 在 $\square A B C D$ 中, $\angle A D B=90^{\circ}, A B=10 \mathrm{~cm}, A D=8 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 从点 $D$ 出发, 沿 $D A$ 方向匀速运动. 速度为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$; 同时, 点 $Q$ 从点 $B$ 出发, 沿 $B C$ 方向匀速运动, 速度为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$. 当一个点停止迫动, 另一个点也停止运动. 过点 $P$ 作 $P E / / B D$ 交 $A B$ 于点 $E$, 连接 $P Q$, 交 $B D$ 于点 $F$. 设适动时间为 $t(s)(0 < t < 4)$. 解答下列问题:

(1)当 $t$ 为何值时, $P Q / / A B$ ?
(2) 连接 $E Q$, 设四边形 $A P Q E$ 的面积为 $y\left(\mathrm{~cm}^2\right)$, 求 $y$ 与 $t$ 的函数关系式.
(3)若点 $F$ 关于 $A B$ 的对称点为 $F^{\prime}$, 是否存在某一时刻 $t$, 使得点 $P, E, F$ 三点共线? 若 存在, 求出 $t$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
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答案：
答案：
(1) 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,
$\therefore A D \| C D$,
若 $P Q / / A B$,
$\therefore$ 四边形 $P A B Q$ 是平行四边形,
$$
\begin{aligned}
& \therefore A P=B Q, \\
& \therefore 8-2 t=t, \\
& \therefore t=\frac{8}{3},
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 当 $t=\frac{8}{3}$ 时, $P Q / / A B$;
$\therefore$ 四边形 $P A B Q$ 是平行四边形.
$$
\begin{aligned}
& \therefore A P=B Q, \\
& \therefore 8-2 t=t, \\
& \therefore t=\frac{8}{3},
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 当 $t=\frac{8}{3}$ 时, $P Q \| / A B$;
(2) 如图, 过点 $Q$ 作 $Q H \perp A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $H$.

$ \angle A D B=90^{\circ}$,
$\therefore B D^2-A B^2-A D^2-100-64-36$, 即 $B D=6$ (负值舍去),
四边形 $A B C D$ 是平行四边形.

$$
\begin{aligned}
& \therefore A D \| B C, \\
& \therefore \angle A=\angle Q B H, \\
& \text { 又 } \angle A D B=\angle B H Q=90^{\circ} \text {, } \\
& \therefore \triangle A D B \sim \triangle B H Q .
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \therefore \frac{B D}{Q H}=\frac{A B}{B Q} \text {, 即 } \frac{6}{Q H}=\frac{10}{t}, \\
& \therefore Q H=\frac{3}{5} t, \\
& P E \| B D, \\
& \therefore \frac{D P}{A D}=\frac{B E}{A B} \text {, 即 } \frac{2 t}{8}=\frac{B E}{10}, \\
& \therefore B E=\frac{5}{2} t,
\end{aligned}
$$

所以 $y=S_{APQB}-S_{BEQ}= \frac{1}{2}(8-2 t+t) \times 6-\frac{1}{2} \times \frac{5}{2} t \times \frac{3}{5} t=-\frac{3}{4} t^2-3 t+24 ;$

(3)连接FF' 交AB对称点为F'



点 $F$ 关于 $A B$ 的对称点为 $F^{\prime}$,
$\therefore \angle F E B-\angle F^{\prime} E B, F N \perp E B$,
$\therefore \angle F^{\prime} E B=\angle A B D$,
$\therefore \angle F E B-\angle A B D$,
$\therefore E F=F B$,
$\therefore B N=E N=\frac{1}{2} B E=\frac{5}{4} t$,

四边形 $A B C D$ 是平行四边形.
$$
\begin{aligned}
& \therefore A D \| B C \text {. } \\
& \therefore \angle D P F=\angle F Q B \text {, } \\
& Q D F P-\angle B F Q \text {, } \\
& \therefore \mathrm{VDPF} \sim \mathrm{VBQF} \text {, } \\
& \therefore \frac{D F}{B F}=\frac{D P}{B Q}=2 \text {, } \\
& \therefore D F=2 B F \text {, } \\
& \therefore 2 B F+B F=6 \text {. } \\
& \therefore B F=2 \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$
$ \angle F B N=\angle A B D, \angle F N B=\angle A D B$,
$\therefore \mathrm{VBNF} \sim \mathrm{VBDA}$,
$\therefore \frac{B N}{B F}=\frac{B D}{A B}$,
$\therefore \frac{\frac{5}{4} t}{2}=\frac{6}{10}$, 解得: $t=\frac{24}{25}$,
$\therefore$ 存在某一时刻 $t$, 使得点 $P, E, F^{\prime}$ 三点共线, $t$ 的值为 $\frac{24}{25}$.
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