题号:5700    题型:解答题    来源:2023年浙江省绍兴市中考模拟数学试卷(含答案)
在平面直角坐标系中, 若两点的横坐标不相等, 纵坐标互为相反数, 则称这两点关 于 $x$ 轴斜对称. 其中一点叫做另一点关于 $x$ 轴的斜对称点. 如: 点 $(-4,2),(1,-2)$ 关于 $x$轴斜对称,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(2,1)$
(1)下列各点中, 与点 $A$ 关于 $x$ 轴斜对称的是 (只㙋序号);
① $(3,-1)$, ② $(-2,1)$, ③ $(2,-1)$, ④ $(-1,-1)$.
(2) 若点 $A$ 关于 $x$ 轴的斜对称点 $B$ 恰好落在直线 $y=k x+3 k+1$ 上, $\triangle A O B$ 的面积为 3 , 求 $k$ 的值;
(3)抛物线 $y=x^2-b x-1$ 上恰有两个点 $M 、 N$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴斜对称, 抛物线的顶点为 $D$, 且 $V D M N$ 为等腰直角三角形, 则 $b$ 的值为
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答案:
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(1) 解: $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(2,1)$,
$\therefore$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴斜对称的是 $(3,-1)$ 和 $(-1,-1)$; 故答案为: ①④
(2)解:根据題意可设 $B(x,-1)$,
①如图 1,当 $x>0$ 时,

$$
\begin{aligned}
& S_{\triangle A O B}=S_{\text {AMNB }}-S_{\triangle A O M}-S_{\triangle B O M} \\
& =\frac{1}{2}(2+x) \times 2-\frac{1}{2} \times 1 \times 2-\frac{1}{2} x=\frac{1}{2} x+1=3 .
\end{aligned}
$$
解得: $x-4$ 。
$$
\begin{aligned}
& \therefore B(4,-1) . \\
& \therefore 4 k+3 k+1=-1 .
\end{aligned}
$$
解得: $k=-\frac{2}{7}$.
如图 2,当 $x < 0$ 时


$$
\begin{aligned}
& S_{\triangle A O B}=S_{\triangle A R M}-S_{\triangle A O N}-S_{\text {AONM }} \\
& =\frac{1}{2}(2-x) \times 2-\frac{1}{2} \times 1 \times(-x)-\frac{1}{2} \times(1+2) \times 2=-\frac{1}{2} x-1=3 .
\end{aligned}
$$
解得: $x=-8$.
$$
\begin{aligned}
& \therefore B(-8,-1) . \\
& \therefore-8 k+3 k+1=-1 .
\end{aligned}
$$
解得: $k=\frac{2}{5}$.
$\therefore$ 综上所述: $k=-\frac{2}{7}$ 或 $\frac{2}{5}$.

(3)解: $\because y=x^2-b x-1=\left(x-\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2+4}{4}$.
$\therefore$ 拋物线的对称轴为直线 $x=\frac{b}{2}$, 抛物线的顶点为 $\left(\frac{b}{2},-\frac{b^2+4}{4}\right)$.

令 $x=0, y=-1$.
$\because$ 点 $M, N$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴稌对称,
$\therefore$ 点 $M . N$ 的纵坐标为 -1 ,
令 $y=-1$, 则 $x^2-b x-1=-1$,
解得: $x_1=0, x_2=b$ ,
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(0,-1)$, 点 $N(b,-1)$,
$\because \triangle D M N$ 为等腰直角三角形。
$\therefore D M=D N$, 且 $M N^2=D M^2+D N^2=2 D M^2$,
$\therefore b^2=2\left[\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(-\frac{b^2+4}{4}+1\right)^2\right]$,
觟仾: $b= \pm 2$ 或 0 (舍去).
即 $b$ 的直为 $ \pm 2$ .

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