2023年浙江省绍兴市中考模拟数学试卷（含答案）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 在菱形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O$, 以 $A C$ 为斜边作 $R t \triangle A E C, A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$, 连接 $B E$, 使得 $B F=C O$, 且 $\angle E B F=2 \angle C A E$, 若 $A C=2$, 则菱形 $A B C D$ 的周长为

$ \text{A.}$ $4 \sqrt{6}$ $ \text{B.}$ $4 \sqrt{3}$ $ \text{C.}$ $4 \sqrt{2}$ $ \text{D.}$ $4$

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答案：

解析：

连接OE

$\because$ 菱形 $A B C D, A C=2$,
$$
\therefore A O=O C=1, A C \perp B D
$$
在 Rt $\triangle A E C$ 中, $A O=O C$
$$
\begin{aligned}
& \therefore O E=O C=1, \angle E O C=2 \angle C A E \\
& \text { 又 } \angle E B F=2 \angle C A E \\
& \therefore \angle E B F=\angle E O C \\
& \angle B F E=\angle A F O, \\
& \therefore \angle B F E+\angle F A O=90^{\circ} \\
& \text { 又 } \angle F A O+\angle O C E=90^{\circ} \\
& \therefore \angle B F E=\angle O C E \\
& \text { 在 } \triangle B F E \text { 和 } \triangle O C E \text { 中, } \\
& \angle E B F=\angle E O C \\
& B F=O C \\
& \angle B F E=\angle O C E \\
& \therefore \triangle B F E \cong \triangle O C E(A S A) \\
& \therefore F E=C E
\end{aligned}
$$
连接 $F C$, 设 $O F=x, F C=\sqrt{O F^2+O C^2}=\sqrt{x^2+1}$,
$$
\begin{aligned}
& F E=E C, \angle F E C=90^{\circ} \\
& \therefore F E=E C=\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}
\end{aligned}
$$

在 Rt $\triangle A E C$ 中, $A E^2+E C^2=A C^2$
$$
\begin{aligned}
& \therefore\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{x^2+1}}{2}\right)^2=2^2 \\
& \therefore x^2=3-2 \sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \therefore x=\sqrt{2}-1, x_2=1-\sqrt{2} \text { (舍去) } \\
& \therefore O B=\sqrt{2} \\
& \therefore A B=\sqrt{O A^2+O B^2}=\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 菱形 $A B C D$ 的周长为 $4 A B=4 \sqrt{3}$,
故选：B

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