已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的有焦点 $F(1,0)$, 点 $M\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上.
(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点. 若 $\overrightarrow{P A}=\lambda \overrightarrow{P B}, \overrightarrow{A Q}=\lambda \overrightarrow{Q B}(\lambda>0)$, 求 $|\overrightarrow{O Q}|$ 的最小值 ( $O$ 是坐标原点).