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当$x > 0$时,方程 $kx \dfrac {1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个根，求$k$的取值范围.

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答案：

答案：令 $f(x)=kx \dfrac {1}{x^{2}}-1$,$f'(x)=k- \dfrac {2}{x^{3}}$,当$k≤0$时, $f'(x)=k- \dfrac {2}{x^{3}} < 0$, 即当$x > 0$时,$f(x)$单调递减,由 $f(0 0)= \infty$ , $\lim \limits _{x \rightarrow \infty }f(x) < 0$ 得方程 $kx \dfrac {1}{x^{2}}=1$ 有唯一根.当$k > 0$时,令 $f'(x)=k- \dfrac {2}{x^{3}}=0$, 解得 $x= \sqrt {}[3]{ \dfrac {2}{k}}$,当 $x \in (0, \sqrt [3]{ \dfrac {2}{k}})$ 时,$f'(x) < 0$;当 $x > \sqrt [3]{ \dfrac {2}{k}}$ 时, $f'(x) > 0$, 即 $x= \sqrt {}[3]{ \dfrac {2}{k}}$ 为最小值点，最小值为 $m=f( \sqrt {}[3]{ \dfrac {2}{k}})= \dfrac {3- \sqrt {}[3]{ \dfrac {4}{k^{2}}}}{ \sqrt {}[3]{ \dfrac {4}{k^{2}}}}$,当$m=0$,即 $k= \dfrac {2}{3 \sqrt {3}}$ 时，方程有唯一根.故当$k≤0$或 $k= \dfrac {2}{3 \sqrt {3}} $时，方程有唯一根.

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