2023广东省梅州市蕉岭县新铺中学入学测试题九年级数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知二次函数 $y=a x^2-4 a x+4$ 的图像与 $x$ 轴有唯一公共点.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 当 $0 \leqslant x \leqslant m$ 时 $(m > 0)$, 函数的最大值为 4 , 且最小值为 0 , 则实数 $m$ 的取值范围是

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答案：

【解答】解: (1) $\because$ 二次函数 $y=a x^2-4 a x+4$ 的图像与 $x$ 轴有唯一公共点,
$\therefore$ 一元二次方程 $a x^2-4 a x+4=0$ 的判别式等于 0 ,
$\therefore a \neq 0, \quad(-4 a)^2-4 \times 4 a=0$,
解得: $a=1$;
(2) 由 (1) 得, $y=x^2-4 x+4=(x-2)^2$,
$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y_{\text {min }}=0$,
$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=4$,
$\therefore$ 抛物线上点 $(0,4)$ 的对称点为 $(4,4)$,
$\because 0 \leqslant x \leqslant m$ 时 $(m > 0)$, 函数的最大值为 4 , 且最小值为 0 ,
$\therefore 2 \leqslant m \leqslant 4$,
故答案为: $2 \leqslant m \leqslant 4$.

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