安徽省蚌埠市2023届高三第二次教学质量检查考试-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, b=\sqrt{3}, a < c$, 且 $\sin \left(\frac{\pi}{3}-A\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}+A\right)=\frac{1}{4}$.
(1) 求 $A$ 的大小;
(2) 若 $a \sin A+c \sin C=4 \sqrt{3} \sin B$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.

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答案：

$$
\begin{aligned}
& \text { (1) } \sin \left(\frac{\pi}{3}-A\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}+A\right)=\cos \left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{3}-A\right)\right] \cos \left(\frac{\pi}{6}+A\right) \\
& =\cos ^2\left(\frac{\pi}{6}+A\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi}{3}+2 A\right)+1}{2}=\frac{1}{4} \text {, } \\
& \therefore \cos \left(\frac{\pi}{3}+2 A\right)=-\frac{1}{2} \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$

因为 $0 < A < \pi$, 得 $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3}+2 A < \frac{7 \pi}{3}$,
所以 $\frac{\pi}{3}+2 A=\frac{2 \pi}{3}$ 或 $\frac{\pi}{3}+2 A=\frac{4 \pi}{3}$,
解得 $A=\frac{\pi}{6}$ 或 $A=\frac{\pi}{2}$, 因为 $a < c$, 得 $A < \frac{\pi}{2}$,
$$
\therefore A=\frac{\pi}{6} \text {. }
$$
(2) 由（1) 知, $A=\frac{\pi}{6}$,
$$
a \sin A+c \sin C=4 \sqrt{3} \sin B,
$$
由正弦定理, 得 $a^2+c^2=4 \sqrt{3} b=12$,
由余弦定理, 得 $a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos A$,
即 $12-c^2=3+c^2-2 \sqrt{3} c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$,
整理, 得 $2 c^2-3 c-9=0$, 由 $c > 0$ 得 $c=3$,
所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 3 \times \frac{1}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

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