如图, 在 $R t ~ \triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C$, 点 $D$ 是 $B C$ 边上一动点, 连接 $A D$, 把 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋 转 $90^{\circ}$, 得到 $A E$, 连接 $C E, D E$. 点 $F$ 是 $D E$ 的中点, 连接 $C F$.
(1) 求证: $C F=\frac{\sqrt{2}}{2} A D$;
(2) 如图 2 所示, 在点 $D$ 运动的过程中, 当 $B D=2 C D$ 时, 分别延长 $C F, B A$, 相交于点 $G$, 猜想 $A G$ 与 $B C$ 存在的数量关系, 并证明你猜想的结论;
(3) 在点 $D$ 运动的过程中, 在线段 $A D$ 上存在一点 $P$, 使 $P A+P B+P C$ 的值最小. 当 $P A+P B+P C$ 的值取 得最小值时, $A P$ 的长为 $m$, 请直接用含 $m$ 的式子表示 $C E$ 的长.