2022年第二学期《线性代数》期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right]$ 的特征值和特征向量。

0 人点赞

12 次查看

我来讲解

答案：

解: $A$ 的特征多项式为:
$$
|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{cc}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{array}\right|=(\lambda-1)(\lambda-3)
$$
所以 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=3$ 。

(1) 当 $\lambda_1=1$ 时, 对应的特征向量满足
$\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]$, 解得: $x_1=-x_2$
则 $\lambda_1=1$ 对应的特征向量可取 $p_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right]$

(2) 当 $\lambda_1=3$ 时, 对应的特征向量满足
$\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]$, 解得: $x_1=x_2$
则 $\lambda_1=3$ 对应的特征向量可取 $p_{21}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right]$

①点击首页查看更多试卷和试题 , 点击查看本题所在试卷
② 下载本题Word版或下载本题PDF版点击赞助本站

关闭