2022年第二学期《线性代数》期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 , 已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是它的三个解向量且 $\eta_1=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right], \eta_2+\eta_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$, 求该方程组的通解。

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我来讲解

答案：

解: 由已知可得: 对应的齐次线性方程组 $A x=0$ 的解集 $S$ 的秩为 $4-3=1$, 因此齐次线性方程组 $A x=0$ 的任意非零解即为它的一个基础解系。

令 $\xi=2 \eta_1-\left(\eta_2+\eta_3\right)$
则 $A \xi=A\left[2 \eta_1-\left(\eta_2+\eta_3\right)\right]=2 A \eta_1-A \eta_2-A \eta_3=2 b-b-b=0$
由此可得非齐次线性方程组 $A x=b$ 的通解为:
$$
x=k \xi+\eta^*=k\left[\begin{array}{l}
3 \\
4 \\
5 \\
6
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
2 \\
3 \\
4 \\
5
\end{array}\right](k \in R)
$$

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