2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形, $A B / / D C, D C / / E F, A B=5$, $D C=3, E F=1, \angle B A D=\angle C D E=60^{\circ}$, 二面角 $F-D C-B$ 的平面角为 $60^{\circ}$. 设 $M, N$ 分别为 $A E, B C$ 的中点.

(1) 证明: $F N \perp A D$;
(2) 求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值.

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答案：

|【小问 1 详解】
过点 $E 、 D$ 分别做直线 $D C 、 A B$ 的垂线 $E G 、 D H$ 并分别交于点交于点 $G 、 H$.
$\because$ 四边形 $A B C D$ 和 $E F C D$ 都是直角梯形,
$A B / / D C, C D / / E F, A B=5, D C=3, E F=1, \angle B A D=\angle C D E=60^{\circ}$, 由平面几何知
识易知, $D G=A H=2, \angle E F C=\angle D C F=\angle D C B=\angle A B C=90^{\circ}$, 则四边形 $E F C G$ 和
四边形 $D C B H$ 是矩形, $\therefore$ 在 RtVEGD 和 RtVDHA， $E G=D H=2 \sqrt{3}$,
$\because D C \perp C F, D C \perp C B$, 且 $C F \cap C B=C$,
$\therefore D C \perp$ 平面 $B C F, \angle B C F$ 是二面角 $F-D C-B$ 的平面角, 则 $\angle B C F=60^{\circ}$,
$\therefore \triangle B C F$ 是正三角形, 由 $D C \subset$ 平面 $A B C D$, 得平面 $A B C D \perp$ 平面 $B C F$,
$\because N$ 是 $B C$ 的中点, $\therefore F N \perp B C$, 又 $D C \perp$ 平面 $B C F, F N \subset$ 平面 $B C F$, 可得
$F N \perp C D$, 而 $B C \cap C D=C, \therefore F N \perp$ 平面 $A B C D$, 而 $A D \subset$ 平面
$A B C D \therefore F N \perp A D$.

因为 $F N \perp$ 平面 $A B C D$, 过点 $N$ 做 $A B$ 平行线 $N K$, 所以以点 $N$ 为原点, $N K, N B 、 N F$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系 $N-x y z$,
设 $A(5, \sqrt{3}, 0), B(0, \sqrt{3}, 0), D(3,-\sqrt{3}, 0), E(1,0,3)$, 则 $M\left(3, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$,
$
\therefore B M=\left(3,-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), A D=(-2,-2 \sqrt{3}, 0), D E=(-2, \sqrt{3}, 3)
$

设平面 $A D E$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$
由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A D}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{D E}=0\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{c}-2 x-2 \sqrt{3} y=0 \\ -2 x+\sqrt{3} y+3 z=0\end{array}\right.$, 取 $\vec{n}=(\sqrt{3},-1, \sqrt{3})$, 设直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角为 $\theta$,
$$
\therefore \sin \theta=|\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{B M}\rangle|=\frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{B M}|}{|\vec{n}| \cdot \overrightarrow{B M} \mid}=\frac{\left|3 \sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right|}{\sqrt{3+1+3} \cdot \sqrt{9+\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}}=\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{3}}=\frac{5 \sqrt{7}}{14} .
$$

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