2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$, 过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A\left(x_1, y_1\right)$, 交双曲线的渐近线于点 $B\left(x_2, y_2\right)$ 且 $x_1 < 0 < x_2$. 若 $|F B|=3|F A|$, 则双曲线的离心率是

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答案：

$\frac{3 \sqrt{6}}{4}$

解析：

过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线 $A B: y=\frac{b}{4 a}(x+c)$, 渐近线 $l_2: y=\frac{b}{a} x$,
联立 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{b}{4 a}(x+c) \\ y=\frac{b}{a} x\end{array}\right.$, 得 $B\left(\frac{c}{3}, \frac{b c}{3 a}\right)$, 由 $|F B|=3|F A|$, 得 $A\left(-\frac{5 c}{9}, \frac{b c}{9 a}\right)$,
而点 $\mathrm{A}$ 在双曲线上, 于是 $\frac{25 c^2}{81 a^2}-\frac{b^2 c^2}{81 a^2 b^2}=1$, 解得: $\frac{c^2}{a^2}=\frac{81}{24}$, 所以离心率 $\mathrm{e}=\frac{3 \sqrt{6}}{4}$.
故答案为: $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$.

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