2022年重庆中考数学试卷A卷真题及答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=60^{\circ}$, 点 $D, E$ 分别是边 $A B, A C$ 上一动点, 连接 $B E$ 交直线 $C D$ 于点 $F$.
(1) 如图 1, 若 $A B > A C$, 且 $B D=C E, \angle B C D=\angle C B E$, 求 $\angle C F E$ 的度数;
(2) 如图 2, 若 $A B=A C$, 且 $B D=A E$, 在平面内将线段 $A C$ 绕点 $C$ 顺时针方向旋转 $60^{\circ}$ 得到线段 $C M$, 连接 $M F$, 点 $N$ 是 $M F$ 的中点, 连接 $C N$. 在点 $D, E$ 远动过程中, 猜想线段 $B F, C F, C N$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想:
(3) 若 $A B=A C$, 且 $B D=A E$, 将 $\triangle A B C$ 沿直线 $A B$ 翻折至 $\triangle A B C$ 所在平面内得到 $\triangle A B P$, 点 $H$ 是 $A P$ 的中点,点 $K$ 是线段 $P F$ 上一点, 将 $\triangle P H K$ 沿直线 $H K$ 翻折至 $\triangle P H K$ 所在平面内得到 $\triangle Q H K$, 连接 $P Q$. 在点 $D, E$ 动过程中, 当线段 $P F$ 取得最小值, 且 $Q K \perp P F$ 时, 请直接写出 $\frac{P Q}{B C}$ 的值.

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我来讲解

答案：

(1) 如图 1 , 在射线 $C D$ 上取一点$K$, 使得 $C K=B E, \therefore$
$\triangle C B E \cong \triangle B C K$
$$
\begin{aligned}
& \therefore B K=C E=B D, \therefore \\
& \angle B K D=\angle B D K= \\
& \angle C E B=\angle A D F \\
& \therefore \angle A D F+\angle A E F=\angle A E F+\angle C E B=180^{\circ}, \therefore \angle A+\angle D F E=180^{\circ} \\
& \therefore \angle D F E=120^{\circ}, \therefore \angle E F C=60^{\circ}
\end{aligned}
$$

(2) $\triangle A B E \cong \triangle B C D, \therefore \angle B C F=\angle A B E, \therefore \angle F B C+\angle B C F=60^{\circ}, \therefore \angle B F C=120^{\circ}$

方法一: 倍长 $C N$ 至 $Q$, 连接 $F Q, \therefore \triangle C N M \varrho \triangle Q N F, \therefore F Q=C M=B C$ 延长 $C F$ 至 $P$, 使得 $P F=B F, \therefore \triangle O B F$ 为正三角形
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle P B C+\angle P C B=\angle P C B+\angle F C M=120^{\circ}, \therefore \angle P F Q=\angle F C M=\angle P B C \\
& \because P B=P F, \therefore \triangle P F Q \cong \triangle P B C, \therefore \triangle P C Q \text { 为正三角形 } \\
& \therefore B F+C F=P C=Q C=2 C N
\end{aligned}
$$
方法二: 如图 $2-2$, 倍长 $M C$得等边 $\triangle B C Q$, 再证 $\triangle B P C \cong \triangle B F Q$

(3)

(3) 由 (2) 知 $\angle B F C=120^{\circ}, \therefore F$ 轨迹为红色圆弧. $\therefore P 、 F 、 O$ 三点共线时, $P F$ 取得最小值此时 $\tan \angle A P K=\frac{A O}{A P}=\frac{2}{\sqrt{3}}, \therefore \angle H P K > 45^{\circ}$
$$
\because Q K \perp P F, \therefore \angle P K H=\angle Q K H=45^{\circ} \text {, }
$$
设 $H L=L K=2, P L=\sqrt{3}, P H=\sqrt{7}, H K=2 \sqrt{2}$,
等面积法得 $P Q=2 \times \frac{2(2+\sqrt{3})}{2 \sqrt{2}}$
$$
\therefore \frac{P Q}{B C}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{14}}=\frac{2 \sqrt{14}+\sqrt{42}}{14}
$$

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