观察以下等式:
第 1 个等式: $\frac{1}{3} \times\left(1+\frac{2}{1}\right)=2-\frac{1}{1}$,
第 2 个等式: $\frac{3}{4} \times\left(1+\frac{2}{2}\right)=2-\frac{1}{2}$,
第 3 个等式: $\frac{5}{5} \times\left(1+\frac{2}{3}\right)=2-\frac{1}{3}$,
第 4 个等式: $\frac{7}{6} \times\left(1+\frac{2}{4}\right)=2-\frac{1}{4}$.
第 5 个等式: $\frac{9}{7} \times\left(1+\frac{2}{5}\right)=2-\frac{1}{5}$.
$\cdots$
按照以上规律, 解决下列问题:
(1) 写出第 6 个等式: $\frac{11}{8} \times\left(1+\frac{2}{6}\right)=2-\frac{1}{6}$;
（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式: $\frac{2 n-1}{n+2} \times\left(1+\frac{2}{n}\right)=2-\frac{1}{n}$ (用含 $n$ 的等式表示), 并 证明.