题号:4376    题型:解答题    来源:2023年贵州省 高考备考针对性联考(理科数学)
随着人民生活水平的不断提高, “衣食住行” 愈发被人们所重视, 其中对饮食的要求也愈来愈高. 某地区为了解当地餐饮情况, 随机抽取了 100 人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查. 请根据下面尚末完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 (如图 4) 解决下列问题.

(1) 求 $m, n, x, y$ 的值;
(2) 求中位数;
(3) 若将满意度在 80 分以上的人群称为 “美食客”, 将频率视为概率, 用样本估计总体, 从该地区中随机抽取 3 人, 记其中 “美食客” 的人数为 $\xi$, 求 $\xi$ 的分布列和数学期望.
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答案:
解: (1) $m=30, n=0.04, x=0.03, y=0.004$.
(2) 设中位数为 $x$, 则: $10 \times 0.014+10 \times 0.03+(x-70) \times 0.036=0.5$,
$$
\therefore x=71 \frac{2}{3} \text {. }
$$
(3) 由题意, $\xi$ 可取 $0,1,2,3, \xi \sim B\left(3, \frac{1}{5}\right)$,
$$
P(\xi=0)=\mathrm{C}_3^0\left(\frac{1}{5}\right)^0\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125} \text {, }
$$
$$
\begin{aligned}
& P(\xi=1)=\mathrm{C}_3^1\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{48}{125}, \\
& P(\xi=2)=\mathrm{C}_3^2\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^1=\frac{12}{125}, \\
& P(\xi=3)=\mathrm{C}_3^3\left(\frac{1}{5}\right)^3\left(\frac{4}{5}\right)^0=\frac{1}{125},
\end{aligned}
$$

$$
E(\xi)=3 \times \frac{1}{5}=\frac{3}{5} .
$$
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