题号:4369    题型:单选题    来源:2023年贵州省 高考备考针对性联考(理科数学)
已知符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{ll}1, x > 0, & -1 \\ 0, & x=0, \\ -1, x < 0,\end{array}\right.$ 数 $f(x)$ 满足 $f(1-x)=f(1+x), f(x+2)=f(x)$, 当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2} x\right)$, 则
$ \text{A.}$ $\operatorname{sgn}(f(x)) > 0$ $ \text{B.}$ $f\left(\frac{4041}{2}\right)=1$ $ \text{C.}$ $\operatorname{sgn}(f(2 k))=0(k \in \mathbf{Z})$ $ \text{D.}$ $\operatorname{sgn}(f(2 k))=|\operatorname{sgn} k|(k \in \mathbf{Z})$
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答案:
C

解析:

. 根据题意得函数 $f(x)$ 是周期为 2 的函数, 作出函数 $f(x)$ 的大 致图象, 如图 3 所示. 数形结合易知 $f(x) \in[0,1]$, 则 $\operatorname{sgn}(f(x))=0$ 或 $\operatorname{sgn}(f(x))=1$, 故 A 错 误 ; $f\left(\frac{4041}{2}\right)=f\left(2020 \frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 故 B 错 误 ;

$f(2 k)=0(k \in \mathbf{Z})$, 则 $\operatorname{sgn}(f(2 k))=0(k \in \mathbf{Z})$, 故 C 正确; $\operatorname{sgn} k=\left\{\begin{array}{l}1, k > 0, \\ 0, k=0,(k \in \mathbf{Z}) \text {, 所以 } \\ -1, k < 0,\end{array}\right.$ $|\operatorname{sgn} k|=\left\{\begin{array}{l}1, k \neq 0, \\ 0, k=0,\end{array}(k \in \mathbf{Z})\right.$, 所以 $\operatorname{sgn}(f(2 k)) \neq|\operatorname{sgn} k|(k \in \mathbf{Z})$, 故 D 错误, 故选 C.
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