2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $y(x)$ 由 $x=\int_1^{y-x} \sin ^2\left(\frac{\pi}{4} t\right) \mathrm{d} t$ 确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$.

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我来讲解

答案：

对方程两边的 $x$ 求导:
$$
1=\sin ^2\left(\frac{\pi}{4}(y-x)\right) \cdot\left(y^{\prime}-1\right) .
$$
当 $x=0$ 时， $y=1$ ，则 $1=\frac{1}{2} \cdot\left(\left.y^{\prime}\right|_{x=0}-1\right)$ ，即
$$
\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=3
$$

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