湖北省重点高中智学联盟2022 年秋季高二年级期末联考-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知线段 $A B$ 的端点 $B(4,3)$, 端点 $\mathrm{A}$ 在圆 $C:(x+1)^2+y^2=4$ 上运动.
(1) 点 $M$ 在线段 $A B$ 上, 且 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$, 求点 $M$ 的轨迹方程;
(2) 若直线 $y=k(x-2)$ 与点 $M$ 的轨迹相交, 求实数 $k$ 的取值范围.

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答案：

(1) 解; 设点 $A\left(x_0, y_0\right) 、 M(x, y)$,
由题意可得 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x-x_0=\frac{1}{3}\left(4-x_0\right) \\ y-y_0=\frac{1}{3}\left(3-y_0\right)\end{array}\right.$, 可得 $\left\{\begin{array}{l}x_0=\frac{3}{2} x-2 \\ y_0=\frac{3}{2} y-\frac{3}{2}\end{array}\right.$,
因为点 $\mathrm{A}$ 在圆 $C$ 上, 所以, $\left(x_0+1\right)^2+y_0^2=4$, 即 $\left(\frac{3}{2} x-1\right)^2+\left(\frac{3}{2} y-\frac{3}{2}\right)^2=4$,
化简可得 $\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+(y-1)^2=\frac{16}{9}$,
故点 $M$ 的轨迹方程为 $\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+(y-1)^2=\frac{16}{9}$.

(2) $\mathrm{k} < \frac{7}{24}$

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