湖北省重点高中智学联盟2022 年秋季高二年级期末联考-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知圆 $(x-2)^2+y^2=9$ 与 $x$ 轴的交点分别为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > 0, b > 0)$ 的顶点和焦点, 设 $F_1, F_2$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点, $P$ 为 $C$ 右支上任意一点, 则 $\frac{\left|P F_1\right|^2}{\left|P F_2\right|^2+4}$ 的取值范围为

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答案：

$\left(1, \frac{9}{5}\right]$

解析：

【解析】 $(x-2)^2+y^2=9$ 与 $x$ 轴交点的坐标分别为 $(-1,0),(5,0)$, 故 $a=1, c=5$,
因为 $P$ 为 $C$ 右支上任意一点, 根据双曲线的定义有 $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=2 a=2$, 即 $\left|P F_1\right|=\left|P F_2\right|+2$
令 $t=\left|P F_2\right| \in[4,+\infty)$, 则 $\frac{\left|P F_1\right|^2}{\left|P F_2\right|^2+4}=\frac{(t+2)^2}{t^2+4}=\frac{t^2+4 t+4}{t^2+4}=1+\frac{4}{t+\frac{4}{t}}$,
因为 $t+\frac{4}{t}$ 在 $[4,+\infty)$ 上为增函数, 所以 $t+\frac{4}{t} \geq 4+\frac{4}{4}=5$,
所以 $\frac{4}{t+\frac{4}{t}} \in\left(0, \frac{4}{5}\right]$, 所以 $1+\frac{4}{t+\frac{4}{t}} \in\left(1, \frac{9}{5}\right]$, 即 $\frac{\left|P F_1\right|^2}{\left|P F_2\right|^2+4} \in\left(1, \frac{9}{5}\right]$.

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