湖北省重点高中智学联盟2022 年秋季高二年级期末联考-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, M$ 为 $D D_1$ 的中点, $N$ 为平面 $A B C D$ 内一动点,
则下列命题正确的有

$ \text{A.}$ 若 $M N=2$, 则 $M N$ 的中点的轨迹所围成图形的面积为 $\pi$ $ \text{B.}$ 若 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $N$ 的轨迹为圆 $ \text{C.}$ 若 $N$ 到直线 $B B_1$ 与直线 $D C$ 的距离相等, 则 $N$ 的轨迹为抛物线 $ \text{D.}$ 若 $D_1 N$ 与 $A B$ 所成的角为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $N$ 的轨迹为双曲线

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我来讲解

答案：

BCD

解析：

【详解】对于 $\mathrm{A}$, 设 $M N$ 中点为 $H, D M$ 中点为 $Q$, 连接 $H Q$, 则 $H Q / / D N$, 且 $H Q=\frac{1}{2} D N$, 如图, 若 $M N=2$, 则所以 $D N^2=M N^2-D M^2=4-1=3, D N=\sqrt{3}$, 则 $H Q=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 所以点 $H$
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的轨迹是以 $Q$ 为圆心, 半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的圆, 面积 $S=\pi r^2=\frac{3 \pi}{4}$, 故 A 错误;

对于 B, $\tan \angle M N D=\frac{D M}{D N}, \angle M N D=\frac{\pi}{3}$, 则 $D N=\frac{D M}{\tan \frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 所以 $N$ 的轨迹是以 $D$ 为圆心, 半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的圆, 故 B 正确;
对于 C, 点 $N$ 到直线 $B B_1$ 的距离为 $B N$, 所以点 $N$ 到定点 $B$ 和直线 $D C$ 的距离相等, 且 $B$ 点不在直线 $D C$ 上, 由抛物线定义可知, $N$ 的轨迹是抛物线, 故 C 正确;
对于 $\mathrm{D}$, 如图, 以 $D A 、 D C 、 D D_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴, 建立空间直角坐标系, 设 $N(x, y, 0), D_1(0,0,2), A(2,0,0), B(2,2,0)$,
所以 $\overrightarrow{D_1 N}=(x, y,-2), \overrightarrow{A B}=(0,2,0), \cos 60^{\circ}=\frac{\left|\overrightarrow{D_1 N} \cdot \overrightarrow{A B}\right|}{\left|\overrightarrow{D_1 N}\right||\overrightarrow{A B}|}=\frac{|2 y|}{\sqrt{x^2+y^2+4} \times 2}=\frac{1}{2}$,
化简得 $3 y^2-x^2=4$, 即 $\frac{y^2}{\frac{4}{3}}-\frac{x^2}{4}=1$, 所以 $N$ 的轨迹为双曲线, 故 D 正确;

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