已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2, M$ 为 $D D_1$ 的中点, $N$ 为平面 $A B C D$ 内一动点,
则下列命题正确的有
$\text{A.}$ 若 $M N=2$, 则 $M N$ 的中点的轨迹所围成图形的面积为 $\pi$
$\text{B.}$ 若 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $N$ 的轨迹为圆
$\text{C.}$ 若 $N$ 到直线 $B B_1$ 与直线 $D C$ 的距离相等, 则 $N$ 的轨迹为抛物线
$\text{D.}$ 若 $D_1 N$ 与 $A B$ 所成的角为 $\frac{\pi}{3}$, 则 $N$ 的轨迹为双曲线