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求 $ \sin 1^{\circ}+\sin 2^{\circ}+\sin 3^{\circ} \ldots+\sin 90^{\circ} $

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我来讲解

答案：

根据欧拉公式:
$$
\cos (\theta)+i \sin (\theta)=e^{i \theta}
$$
得:
$$
\sin (\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}
$$
为了方便，令
$$
A=e^{\frac{i \pi}{180}} A^{90}=e^{\frac{i \pi}{2}}=i
$$
并利用等比数列求和公式得
$$
\begin{aligned}
& \text { 原式 }=\sum_{n=1}^{90} \sin \frac{n \pi}{180}=\frac{1}{2 i} \sum_{n=1}^{90}\left(e^{\frac{i n \pi}{180}}-e^{\frac{-i n \pi}{180}}\right)=\frac{1}{2 i} \sum_{n=1}^{90}\left(A^n-A^{-n}\right) \\
& =\frac{1}{2 i}\left[A \frac{1-A^{90}}{1-A}-\left(A^{-1}\right) \frac{1-A^{-90}}{1-A^{-1}}\right]=\frac{1}{2 i}\left[A \frac{1-i}{1-A}-\left(A^{-1}\right) \frac{1+i}{1-A^{-1}}\right] \\
& =\frac{1}{2 i}\left(\frac{A-i A}{1-A}-\frac{1+i}{A-1}\right)=\frac{1}{2 i} \frac{(1+A)+i(1-A)}{1-A} \\
& =\frac{1}{2 i} \frac{1+A}{1-A}+\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
令 $\theta=\pi / 180=1^{\circ}$ ，计算上式加号左边的项
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{2 i} \frac{1+A}{1-A}=\frac{1}{2 i} \frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta-i \sin \theta}=\frac{1}{2 i} \frac{(1+\cos \theta+i \sin \theta)(1-\cos \theta+i \sin \theta)}{(1+\cos \theta)^2+\sin ^2 \theta} \\
& =\frac{\sin \theta}{(1-\cos \theta)^2+\sin ^2 \theta}
\end{aligned}
$$
所以最后的结果是
$$
\sin 1^{\circ}+\sin 2^{\circ}+\sin 3^{\circ} \ldots+\sin 90^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{\sin 1^{\circ}}{\left(1-\cos 1^{\circ}\right)^2+\sin ^2 1^{\circ}} \approx 57.794325064654814
$$
看到有评论说这个结果跟1弧度很接近，这个是有根据的，不过需要用到积分了:
$$
1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x \approx \sum_{n=1}^{90}\left(\sin \frac{n \pi}{180}\right) \cdot \frac{\pi}{180}
$$
所以
$$
\sum_{n=1}^{90}\left(\sin \frac{n \pi}{180}\right) \approx \frac{180}{\pi}
$$

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