(1) 连接 $D E$, 作 $\triangle B D E$ 关于 $D E$ 的对称图形 $\triangle B^{\prime} D E$.
(1) 如图 1, 当点 $B^{\prime}$ 恰好与点 $C$ 重合, 求 $D E$ 的长;
(2)如图 2, 当点 $B^{\prime}$ 落在 $A C$ 的延长线上, 且 $B^{\prime} E \perp A B$, 求 $B D$ 的长;
(2) 在点 $D 、 E$ 运动过程中, 满足 $C D^2=C E \cdot C B$, 过点 $C$ 作 $C F \perp C D$ 交射线 $D E$ 于点 $F$, 是否存在某个位置,

\begin{aligned} & \therefore E B=E C=\frac{5}{2}, \\ & \therefore D E=B E \cdot \tan B=\frac{5}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{15}{8} ; \end{aligned}

②如图2中

\begin{aligned} & \because C A=C B=5, C J \perp A B, \\ & \therefore A J=B J, \\ & \because \tan B=\frac{C J}{\mathrm{~J}}=\frac{3}{4}, \\ & \therefore C J=3, B J=A J=4, \\ & \therefore A B=8, \\ & \because B^{\prime} E \perp A B, \\ & \therefore \tan B=\frac{E H}{B H}=\frac{3}{4}, \end{aligned}
$\therefore E H: \quad B H: E B=3: 4: 5$,

$$\therefore A H=8-4 k \text {, }$$

\begin{aligned} & \therefore \frac{8 \mathrm{k}}{8-4 \mathrm{k}}=\frac{3}{4}, \\ & \therefore k=\frac{6}{11}, \end{aligned}

\begin{aligned} & \therefore B^{\prime} H=\frac{48}{11}, B H=\frac{24}{11} \\ & \because \angle B=\angle D B^{\prime} H, \\ & \therefore \tan \angle D B^{\prime} H=\tan B=\frac{D H}{B^{\prime} H}=\frac{3}{4}, \\ & \therefore D H=\frac{3}{4} \times \frac{48}{11}=\frac{36}{11}, \\ & \therefore B D=D H+B H=\frac{36}{11}+\frac{24}{11}=\frac{60}{11} ; \end{aligned}

(2) 点 $D$ 在 $A B$ 边上运动的过程中, 存在某个位置, 使得 $D F=B F$. 理由: 作 $F H \perp A B$ 于 $H, C M \perp A B$ 于 $M, C N \perp F H$ 于 $N$. 则 $\angle N H M=\angle C M H=\angle C N H=$ $90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $C M H N$ 为矩形,
\begin{aligned} & \therefore \angle M C N=90^{\circ}, M H=C N, \\ & \because C N \perp F H, C M \perp A B, \\ & \therefore \angle C N F=90^{\circ}=\angle C M D, \\ & \because \angle D C F=90^{\circ}=\angle M C N, \\ & \therefore \angle N C F=\angle M C D, \\ & \therefore \triangle C F N \sim \triangle C D M, \\ & \therefore \frac{C N}{C M}=\frac{C F}{C D}=\tan \angle C D F=\tan B=\frac{3}{4}, \\ & \therefore C N=\frac{3}{4} C M=\frac{9}{4}, \\ & \therefore B H=B M-M H=B M-C N=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}, \end{aligned}

$\because F H \perp D B$
\begin{aligned} & \therefore B D=2 B H=\frac{7}{2}, \\ & \therefore A D=A B-B D=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}, \end{aligned}
$\therefore$ 点 $D$ 在 $A B$ 边上运动的过程中, 存在某个位置, 使得 $D F=B F$, 此时 $A D=\frac{9}{2}$.
①点击 首页查看更多试卷和试题 , 点击查看 本题所在试卷