2022年江苏省无锡市外国语学校中考二模数学试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在 $\triangle A B C$ 中, $A C=B C=5, \tan B=\frac{3}{4}$, 点 $D 、$ 点 $E$ 分别是 $A B 、 B C$ 边上的动点.
(1) 连接 $D E$, 作 $\triangle B D E$ 关于 $D E$ 的对称图形 $\triangle B^{\prime} D E$.
(1) 如图 1, 当点 $B^{\prime}$ 恰好与点 $C$ 重合, 求 $D E$ 的长;
(2)如图 2, 当点 $B^{\prime}$ 落在 $A C$ 的延长线上, 且 $B^{\prime} E \perp A B$, 求 $B D$ 的长;
(2) 在点 $D 、 E$ 运动过程中, 满足 $C D^2=C E \cdot C B$, 过点 $C$ 作 $C F \perp C D$ 交射线 $D E$ 于点 $F$, 是否存在某个位置,
使得 $F D=F B$ ? 若存在, 求出此时 $A D$ 的长; 若不存在, 请说明理由.

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我来讲解

答案：

解：（1）①如图1中，

当点 $B^{\prime}$ 恰好与点 $C$ 重合, $D E$ 垂直平分线段 $B C$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore E B=E C=\frac{5}{2}, \\
& \therefore D E=B E \cdot \tan B=\frac{5}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{15}{8} ;
\end{aligned}
$$

②如图2中

延长 $B^{\prime} E$ 交 $A B$ 于点 $H$, 过点 $C$ 作 $C J \perp A B$ 于点 $J$.
$$
\begin{aligned}
& \because C A=C B=5, C J \perp A B, \\
& \therefore A J=B J, \\
& \because \tan B=\frac{C J}{\mathrm{~J}}=\frac{3}{4}, \\
& \therefore C J=3, B J=A J=4, \\
& \therefore A B=8, \\
& \because B^{\prime} E \perp A B, \\
& \therefore \tan B=\frac{E H}{B H}=\frac{3}{4},
\end{aligned}
$$
$\therefore E H: \quad B H: E B=3: 4: 5$,
设 $E H=3 k, B H=4 k, E B=5 k$, 则 $E B^{\prime}=5 k, B^{\prime} H=8 k$,
$$
\therefore A H=8-4 k \text {, }
$$
在 Rt $\triangle A B^{\prime} H$ 中, $\tan A=\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{H}}{\mathrm{AH}}=\frac{3}{4}$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \frac{8 \mathrm{k}}{8-4 \mathrm{k}}=\frac{3}{4}, \\
& \therefore k=\frac{6}{11},
\end{aligned}
$$
经检验 $k=\frac{6}{11}$ 是分式方程的解,
$$
\begin{aligned}
& \therefore B^{\prime} H=\frac{48}{11}, B H=\frac{24}{11} \\
& \because \angle B=\angle D B^{\prime} H, \\
& \therefore \tan \angle D B^{\prime} H=\tan B=\frac{D H}{B^{\prime} H}=\frac{3}{4}, \\
& \therefore D H=\frac{3}{4} \times \frac{48}{11}=\frac{36}{11}, \\
& \therefore B D=D H+B H=\frac{36}{11}+\frac{24}{11}=\frac{60}{11} ;
\end{aligned}
$$

(2) 点 $D$ 在 $A B$ 边上运动的过程中, 存在某个位置, 使得 $D F=B F$. 理由: 作 $F H \perp A B$ 于 $H, C M \perp A B$ 于 $M, C N \perp F H$ 于 $N$. 则 $\angle N H M=\angle C M H=\angle C N H=$ $90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $C M H N$ 为矩形,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle M C N=90^{\circ}, M H=C N, \\
& \because C N \perp F H, C M \perp A B, \\
& \therefore \angle C N F=90^{\circ}=\angle C M D, \\
& \because \angle D C F=90^{\circ}=\angle M C N, \\
& \therefore \angle N C F=\angle M C D, \\
& \therefore \triangle C F N \sim \triangle C D M, \\
& \therefore \frac{C N}{C M}=\frac{C F}{C D}=\tan \angle C D F=\tan B=\frac{3}{4}, \\
& \therefore C N=\frac{3}{4} C M=\frac{9}{4}, \\
& \therefore B H=B M-M H=B M-C N=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4},
\end{aligned}
$$
当 $D F=B F$ 时, 由点 $D$ 不与点 $B$ 重合, 可知 $\triangle D F B$ 为等腰三角形,
$\because F H \perp D B$
$$
\begin{aligned}
& \therefore B D=2 B H=\frac{7}{2}, \\
& \therefore A D=A B-B D=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2},
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 点 $D$ 在 $A B$ 边上运动的过程中, 存在某个位置, 使得 $D F=B F$, 此时 $A D=\frac{9}{2}$.

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