2022年江苏省无锡市外国语学校中考二模数学试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=B C, \angle A B C=90^{\circ}$, 动点 $E$ 在 $\angle A B C$ 外部, 且 $\angle A B C=2 \angle A E C$.
(1) 利用尺规作图在图 1 中作出一个符合题意的点 $E$; (不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 如图 2, 若 $F$ 是 $A C$ 的中点, 线段 $B E$ 与线段 $E F$ 的长度存在怎样的等量关系? 请说明理由.

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我来讲解

答案：

解: (1) 作线段 $A C$ 的垂直平分线 $B P$, 交 $A C$ 于点 $D$;
在线段 $B D$ 的延长线上截取 $D O=B D$;
以点 $O$ 为圆心, $O A$ 为半径画圆, 在优弧 $A E C$ 上任意取一点 (不含端点) 即为所求作的
一个符合题意的点 $E$;
理由如下:
如图, 连接 $O A, O C$,

由作法可知: $A C, O B$ 互相垂直平分,
$\therefore$ 四边形 $A B C O$ 是菱形,
$\because \angle A B C=90^{\circ}$,
$\therefore$ 四边形 $A B C O$ 是正方形,
$\therefore \angle A O C=90^{\circ}=\angle A B C, O A=O C$,
$\therefore$ 点 $C$ 在圆 $O$ 上,
$\because \angle A O C=2 \angle A E C$,
$\therefore \angle A C B=2 \angle A E C$;

(2) $B E=\sqrt{2} E F$, 理申如下:
如图, 连接 $O E, O B$,

$\because$ 四边形 $A B C O$ 是正方形, $F$ 是 $A C$ 的中点, $O A=O C$,
$\therefore O B$ 经过点 $F, \angle B C O=90^{\circ}, \angle C B O=\angle O C A=45^{\circ}, O F \perp A C$, 在 Rt $\triangle O B C$ 中,
$$
\frac{O C}{O B}=\sin \angle O B C=\frac{\sqrt{2}}{2} \text {, }
$$
在 Rt $\triangle O F C$ 中,
$$
\begin{aligned}
& \frac{O \mathrm{~F}}{\mathrm{OC}}=\sin \angle O C A=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\
& \therefore \frac{O C}{O B}=\frac{O F}{O C}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\
& \because O E=O C, \\
& \therefore \frac{O E}{O B}=\frac{O F}{O E}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\
& \because \angle E O F=\angle B O E, \\
& \therefore \triangle E O F \sim \triangle B O E, \\
& \therefore \frac{E F}{B E}=\frac{O F}{O E}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\
& \therefore B E=\sqrt{2} E F .
\end{aligned}
$$

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