已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上顶点为 $A$, 钝角三角形 $A F_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点. 当直线 $l$ 经过 $F_1, A$ 两 点时, 点 $F_2$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$.
(1)求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 设 $O$ 为坐标原点, 当直线 $l$ 的纵截距不为零时, 试问是否存在实数 $k$, 使得 $|\overrightarrow{P Q}|^2+$ $2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 为定值? 若存在, 求出此时 $\triangle O P Q$ 面积的最大值; 若不存在, 请说明 理由.
答案：
(1) 设 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$, 则 $\left|A F_1\right|=\sqrt{b^2+c^2}=a$.
当直线 $l$ 经过点 $F_1, A$ 时, 由 $\triangle A F_1 F_2$ 的面和为 $\sqrt{3}, F_2$ 到 $A F_1$ 的距离为 $\sqrt{3}$, 得 $S_{\triangle A F_2 F_1}=\frac{1}{2} a \cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$ (1),
同时得 $\frac{1}{2} \times 2 c \times b=\sqrt{3}$, 即 $b c=\sqrt{3}$ (2).
联立 (1) (2), 绾合 $a^2=b^2+c^2$, 解待 $a=2, b=1, c=\sqrt{3}$ 或 $a=2, b=\sqrt{3}, c=1$.
因为 $\triangle A F_1 F_2$ 为锂角三角形, 所以 $b < c$, 所以 $a=2, b=1, c=\sqrt{3}$.
(2) 由题意设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+m(m \neq 0)$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ \frac{x^2}{4}+y^2=1,\end{array}\right.$ 诮元得 $\left(4 k^2+1\right) x^2+8 k m x+4 m^2-4=0$.
当 $\Delta=64 k^2 m^2-16\left(4 k^2+1\right)\left(m^2-1\right) > 0$, 即 $4 k^2-m^2+1 > 0$ 时满足题意.
设 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$, 则 $x_1+x_2=\frac{-8 k m}{4 k^2+1}, x_1 \cdot x_2=\frac{4 m^2-4}{4 k^2+1}$.
$$
\begin{aligned}
& |\overrightarrow{P Q}|^2+2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=(\overrightarrow{O Q}-\overrightarrow{O P})^2+2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=|\overrightarrow{O P}|^2+|\overrightarrow{O Q}|^2=2+\frac{3}{4}\left(x_1^2+x_2^2\right)=2+ \\
& \frac{24 k^2 m^2-6 m^2+24 k^2+6}{\left(4 k^2+1\right)^2}=2+\frac{6 m^2\left(4 k^2-1\right)+6\left(4 k^2+1\right)}{\left(4 k^2+1\right)^2}
\end{aligned}
$$
若 $|\overrightarrow{P Q}|^2+2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 为定值, 则上式与 $m^2$ 无关, 故 $4 k^2-1=0$, 得 $k=\pm \frac{1}{2}$,
8 分
此时 $|P Q|=\sqrt{k^2+1} \sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2}=4 \sqrt{k^2+1} \times \frac{\sqrt{4 k^2+1-m^2}}{1+4 k^2}=\sqrt{5} \times \sqrt{2-m^2}$.
又点 $O$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$,
所以 $S_{\triangle O P Q}=\frac{1}{2} \times d \times|P Q|=|m| \cdot \sqrt{2-m^2} \leqslant \frac{m^2+2-m^2}{2}=1$,
当且仅当 $|m|=\sqrt{2-m^2}$, 即 $m=\pm 1$ 时, 等号成立.
经检验, 此时 $\Delta > 0$ 成立,
所以 $\triangle O P Q$ 面积的最大值为 1 .