湘豫名校联考2022.12月理科数学试卷答案（老高考区）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知直线 $y=k x+b$ 为曲线 $f(x)=\ln x$ 的一条切线, 则 $k \cdot b$ 的取值范围为

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答案：

$\left(-\infty, \frac{1}{e^2}\right]$

解析：

设切点为 $P\left(x_0, \ln x_0\right)$, 因为 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$, 所以 $k=f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{1}{x_0}$. 所以㪉伐方程为 $y-$ $\ln x_0=\frac{1}{x_0}\left(x-x_0\right)$, 即 $y=\frac{1}{x_0} x-1+\ln x_0$. 所以 $b=\ln x_0-1$. 所以 $k \cdot b=\frac{\ln x_0-1}{x_0}$. 设 $g(t)=\frac{\ln t-1}{t}(t > 0)$, 则 $g^{\prime}(t)=\frac{2-\ln t}{t^2}$, 今 $g^{\prime}(t)=0$, 可得 $t=\mathrm{e}^2$. 当 $0 < t < \mathrm{e}^2$ 的, $g^{\prime}(t) > 0, g(t)$ 在 $\left(0\right.$, $\left.\mathrm{e}^2\right)$ 上单调遏增; 当 $t > \mathrm{e}^2$ 时, $g^{\prime}(t) < 0, g(t)$ 在 $\left(\mathrm{e}^2,+\infty\right)$ 上单调递减, 所以 $g(t)_{\max }=g\left(\mathrm{e}^2\right)=\frac{1}{\mathrm{e}^2}$. 因为当 $t \rightarrow 0$ 时, $g(t) \rightarrow-\infty$, 当 $t \rightarrow+\infty$ 时, $g(t) \rightarrow 0$, 所以 $g(t)$ 的值域为 $\left(-\infty, \frac{1}{\mathrm{e}^2}\right]$. 所以 $k \cdot b$ 的取值范囪为 $\left(-\infty, \frac{1}{\mathrm{e}^2}\right]$.

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