湘豫名校联考2022.12月理科数学试卷答案（老高考区）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在 $\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)^5$ 的展开式中, $\frac{1}{x^3}$ 的系数为

$ \text{A.}$ $-30$ $ \text{B.}$ $-20$ $ \text{C.}$ $-10$ $ \text{D.}$ $30$

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答案：

解析：

因为 $\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)^5=\left(1+\frac{1}{x}\right)^5-\frac{2}{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^5$, 其中 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^5$ 展开式的通项为 $T_{++1}=$ $\mathrm{C}_5^x\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\mathrm{C}_5^x \cdot \frac{1}{x^2}$, 所以原式的展开式中含 $\frac{1}{x^3}$ 的项为 $1 \times \mathrm{C}_5^3 \cdot \frac{1}{x^3}+\left(-\frac{2}{x}\right) \cdot \mathrm{C}_5^2 \cdot \frac{1}{x^2}=-\frac{10}{x^3}$. 所以 $\frac{1}{x^3}$ 的系数为 $-10$. 故选 C.

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