题号:4107    题型:解答题    来源:2022年青海省中考数学真题 入库日期 2023/1/18 12:09:00
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $A C$ 是 $\odot O$ 的弦, $A D$ 平分 $\angle C A B$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ,过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线 $E F$ ,交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ,交 $A C$ 的延长线于点 F
(1)求证: $A F \perp E F$ ;
(2) 若 $C F=1 , A C=2 , A B=4$ ,求 $B E$ 的长.

【答案】 (1)证明:连接 $OD$

$$
\begin{aligned}
& \because A D \text { 平分 } \angle C A B , \\
& \therefore \angle C A D=\angle O A D , \\
& \because O A=O D , \\
& \therefore \angle O A D=\angle O D A , \\
& \therefore \angle C A D=\angle O D A , \\
& \therefore O D \| A F , \\
& \because E F \text { 为 } \odot O \text { 的切线, } \\
& \therefore O D \perp E F , \\
& \therefore A F \perp E F .
\end{aligned}
$$

(2) 解: 由 (1) 得: $O D \| A F$ ,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \triangle O D E \sim \triangle A F E, \\
& \because A C=2, C F=1, \\
& \therefore A F=3, \\
& \because A B=4 , \\
& \therefore O D=2, O B=2, \\
& \therefore O E: A E=O D: A F ,
\end{aligned}
$$
设 $B E$ 为 $x$ ,
$$
\begin{aligned}
& \therefore O E=O B+B E=2+x, \\
& \therefore \frac{2+x}{4+x}=\frac{2}{3},
\end{aligned}
$$
解得: $x=2$ ,
即 $B E$ 的长为 2 .


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