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如图, 四边形 $A B C D$ 的外接圆是以 $B D$ 为直径的 $\odot O, P$ 是 $\odot O$ 的劣狐 $B C$ 上 的任 $E$ 意一点连接 $P A 、 P C 、 P D$, 延长 $B C$ 至 $E$, 使 $B D^2=B C \cdot B E$.
(1) 请判断直线 DE 与 $\odot O$ 的位置关系, 并证明你的结论;
(2) 若四边形 $A B C D$ 是正方形, 连接 $A C$, 当 $P$ 与 $C$ 重合时, 或当 $P$ 与 $B$ 重合时, 把 $\frac{P A+P C}{P D}$ 转化为正方形 $A B C D$ 的有关设段长的比, 可得 $\frac{P A+P C}{P D}=\sqrt{2}$ 是否成立? 请证明你的结论。
【答案】 (1) 直线 DE 为 $\odot O$ 的切线, 理由如下:
$$
\begin{aligned}
& B D^2=B C \cdot B E, \quad \frac{B D}{B C}=\frac{B E}{B D} \\
& \mathrm{CBD}=\mathrm{BDE}, \quad \mathrm{BCD} \quad \mathrm{BDE}, \quad \mathrm{BDC}=\mathrm{BED} .
\end{aligned}
$$
$B D$ 为 $O$ 的直径,
$B C D=90^{\circ}$, 即 $C B D+B D C=90^{\circ}$ ，
$C B D+B E D=90^{\circ}$ ， 即 $B D E=90^{\circ}$ ，
$B D D E$, 即 $O D D E$.
又 $O D$ 为 $O$ 的半径, $D E$ 为 $O$ 的的切线.


(2) 当 $\mathrm{P}$ 既不与 $\mathrm{C}$ 重合也不与 $D$ 重合时, $\frac{P A+P C}{P D}=\sqrt{2}$ 成立, 理由如下: 如图, 将 $D C P$ 绕着点 $D$ 顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得 $D A Q$, 则 $P D Q=90^{\circ}$. 由旋转知: $D C P \cong D A Q$,
$$
D C P=D A Q, D P=D Q, P C=Q A \text {. }
$$
$D P Q$ 为等腰直角三角形. $\frac{P Q}{P D}=\sqrt{2}$ ；

四边形 $A P C D$ 为 $O$ 的内接四边形,
$$
D C P+D A P=180^{\circ} .
$$
$D A Q+D A P=180^{\circ}$, 即 $Q 、 A 、 P$ 三点共线.
$$
\begin{aligned}
& P Q=Q A+P A=P C+P A . \\
& \frac{P A+P C}{P D}=\frac{P Q}{P D}=\sqrt{2} .
\end{aligned}
$$

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