选修 4-5: 不等式选讲 已知 $a, b$ 为非负实数, 函数 $f(x)=|x-3 a|+|x+4 b|$.
(I) 当 $a=1, b=\frac{1}{2}$ 时, 解不等式 $f(x) \geqslant 7$;
(II) 若函数 $f(x)$ 的最小值为 6 , 求 $\sqrt{3 a}+\sqrt{b}$ 的最大值.
【答案】 解: ( I ) 当 $a=1, b=\frac{1}{2}$ 时, $f(x)=|x-3|+|x+2|$.
$\cdots \cdots 1$ 分
当 $x \leqslant-2$ 时, $f(x)=1-2 x \geqslant 7$, 解得 $x \leqslant-3$;
$\cdots \cdots 3$ 分
当 $-2 < x < 3$ 时, $f(x)=5 \geqslant 7$, 此时无解;
当 $x \geqslant 3$ 时, $f(x)=2 x-1 \geqslant 7$, 解得 $x \geqslant 4$.
综上,不等式 $f(x) \geqslant 7$ 的解集为 $(-\infty,-3] \cup[4,+\infty)$.
$\cdots \cdots 4$ 分
(II) 由 $f(x)=|x-3 a|+|x+4 b| \geqslant|x+4 b-(x-3 a)|=|3 a+4 b|$,
当且仅当 $-4 b \leqslant x \leqslant 3 a$ 时, 等号成立.
$\because a \geqslant 0, b \geqslant 0$.
$\therefore f(x)_{\min }=|3 a+4 b|=3 a+4 b=6$.
由柯西不等式,得 $\sqrt{3 a}+\sqrt{b}=1 \cdot \sqrt{3 a}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 b} \leqslant \sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} \cdot \sqrt{3 a+4 b}=\frac{\sqrt{30}}{2}$.
9 分
当且仅当 $2=\frac{\sqrt{3 a}}{\sqrt{4 b}}$ 时, 即 $a=\frac{8}{5}, b=\frac{3}{10}$ 等号成立.
综上, $\sqrt{3 a}+\sqrt{b}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{30}}{2}$.
$\cdots \cdots 10$ 分


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