如图(1), 在等腰直角三角形 $A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, A B=2, D, E$ 分别是 $A C, B C$ 上的点, 且 满足 $D E / / A B$. 将 $\triangle C D E$ 沿 $D E$ 折起, 得到如图(2)所示的四棱雉 $P-A B E D$.
( I) 若 $D$ 为 $A C$ 的中点, 平面 $P D E \perp$ 平面 $A B E D$, 求四棱雉 $P-A B E D$ 的体积;
( II ) 设平面 $A B P \cap$ 平面 $D E P=l$, 证明: $l \perp$ 平面 $A D P$.
【答案】 解: ( I ) 由题意得 $D E \perp A C, D E \perp D P$.
$\because$ 平面 $P D E \perp$ 平面 $A B E D, P D \subset$ 平面 $P D E$,
平面 $P D E \cap$ 平面 $A B E D=D E, P D \perp D E$,
$\therefore P D \perp$ 平面 $A B E D$.
$\because D$ 为 $A C$ 的中点,
$\therefore D A=D E=D P=1$.
$\therefore V_{P-A B E D}=\frac{1}{3} S_{A B E D} \cdot D P=\frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \times 1=\frac{1}{2}$.
$\therefore$ 四棱雉 $P-A B E D$ 的体积为 $\frac{1}{2}$.
(II) $\because D E / / A B, D E \not \subset$ 平面 $P A B, A B \subset$ 平面 $P A B$,
$\therefore D E / /$ 平面 $P A B$.
$\because D E \subset$ 平面 $P D E$, 平面 $P D E \cap$ 平面 $P A B=l$,
$\therefore D E / / l$.
由图(1) $D E \perp A C$, 得 $D E \perp D A, D E \perp D P$,
$\therefore l \perp D A, l \perp D P$.
$\because D A, D P \subset$ 平面 $A D P, D A \cap D P=D$,
$\therefore l \perp$ 平面 $A D P$.


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