已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2 \sqrt{2}$, 且 $(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{c})=0, \theta=$ $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right)$, 则 $\frac{\vec{b} \cdot(\vec{a}-\vec{c})}{|\vec{a}-\vec{c}|}$ 的取值范围是
【答案】 $\left[-\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right]$

【解析】 【解析】由题可设 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}, O(0,0), A(1,0)$,
$B 、 C$ 在以 $O$ 为圆心半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆上,
又 $(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{c})=0$, 则 $B A \perp C A$.
因为 $\angle A O B=\theta \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$, 记 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\vec{c}$ 的夹角为 $\alpha$,
(1) 当 $\theta=0$ 时, $\alpha=\frac{\pi}{2}, \cos \alpha=0$;
(2)当 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 时, 由对称性可设 $B(2,-2)$,
$\therefore k_{A B}=-2, \therefore k_{A C}=\frac{1}{2}, \tan \angle O A C=-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{2} < \angle O A C < \pi$
$\therefore \cos \angle O A C=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \sin \angle O A C=\frac{\sqrt{5}}{5}$,
$\therefore \cos \alpha=\cos \left(\angle O A C-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$;
综上, 结合图像可得 $\cos \alpha \in\left[-\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10}\right]$,
所以 $\frac{\vec{b} \cdot(\vec{a}-\vec{c})}{|\vec{a}-\vec{c}|}=\frac{|\vec{b} \cdot| \vec{a}-\vec{c} \mid \cdot \cos \alpha}{|\vec{a}-\vec{c}|}=2 \sqrt{2} \cos \alpha \in\left[-\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right]$.
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